Clase de 27 de septiembre de 2006:
Presentación de la Asignatura y del Proyecto Docente: Ver enlaceNúmeros Reales -- Introducción: los números naturales. El principio de inducción. Ejemplo. Ver enlace
Clase de 29 de septiembre de 2006:
El principio de inducción. Ejemplos. El binomio de Newton y el triángulo de Pascal. Números combinatorios.
Clase del 2 de octubre de 2006:
Binomio de Newton. Identidades notables. Regla de Ruffini. Núeros enteros y racionales. Los números reales. La recta real. Representación de algunos números reales. Hoja de problemas número 1: Ver enlace Hacer problemas 1,2,3 y 12 de esa hoja.
Clase del 4 de octubre de 2006:
La recta real. Representación de algunos números reales. Axiomática de los números reales. Hacer los problemas (ejercicios de repaso) Ver enlace
Hoja de problemas número 1: Ver enlace
Clase del 6 de octubre de 2006:
Los números complejos. Definición como par de números reales. Operaciones y propiedades. Definición de la forma binómica. Operaciones. Hacer los problemas 1 y 2 de la hoja de complejos Ver enlace
Clase del 9 de octubre de 2006:
Módulo y argumento de un número complejo. Forma polar, trigonométrica y exponencial. Operaciones. Ejemplos. Se hace el problema 1 de la hoja de complejos Ver enlace. Raíz de un número complejo. Hacer los Problemas 1, 2, 3, 4(a) al 4(d), de la hoja de problemas número 2: Ver enlace.
Clase del 11 de octubre de 2006:
Se hacen los problemas 2 y 3 de la hoja de problemas número 2: Ver enlace. Demostración de la fórmula de la raiz. Ver enlace Se proponen los problemas 4(c), 4(d), 7(a), 7(b) y 17 de la hoja de problemas número 2: Ver enlace Potencia de base el número e. Logaritmo neperiano complejo. Se hacen los problemas 9(a) y 9(b) de la hoja 2.
Clase del 13 de octubre de 2006:
Se hace el problema 4(d) de la hoja de problemas número 2: Ver enlace.
Se introducen las formas exponenciales del seno y el coseno. Se resuelve (casi) el problema "sen z = 3".
Ver la solución de la primera pregunta del examen de febrero de 2006: Ver enlace.
Clase del 16 de octubre de 2006:
Se termina el problema "sen z = 3", y se proponen problemas semejantes de la hoja de problemas número 2: Ver enlace, y también resueltos en exámenes anteriores.
Se hacen lo problemas 7 y 17 de la hoja de problemas número 2: Ver enlace y se proponen problemas semejantes.
Se explica cómo hallar una potencia de base y exponente complejo, usando el logaritmo neperiano, y cómo calcular logaritmos de base cualquiera.
Clase del 18 de octubre de 2006:
Se hacen los problemas 15, 20, 13 (de dos formas) y 26 de la hoja de problemas número 2: Ver enlace y se proponen problemas semejantes.
Se comentan los otros problemas de la hoja.
Clase del 20 de octubre de 2006:
Se hacen los problemas 24, 34 y 39 de la hoja de problemas número 2: Ver enlace y se proponen problemas semejantes.
Clase del 23 de octubre de 2006:
Concepto de conjunto abierto de la recta real. La unión arbitraria de abiertos es abierto. La intersección finita de abiertos es abierto. Ejemplos.
Punto interior y conjunto interior. Ejemplos de exámenes anteriores.
Clase del 25 de octubre de 2006:
Concepto de punto exterior y conjunto exterior de uno dado. Ejemplos .
Punto frontera y conjunot frontera. Ejemplos y propiedades.
Conjutos cerrados de la recta real. Ejemplos. Punto adherente y adherencia de un conjunto. Punto aislado y punto de acumulación. Ejemplos.
Clase del 27 de octubre de 2006:
Se resuelven los problemas 7, 9, 11 y 12 de la hoja de problemas no. 3: Ver enlace.
Se caracterizan los puntos de acumulación como los puntos límite de elementos (distintos) del conjunto. (ver problema 12). Se puden hacer todos los problemas de la hoja de problemas número 3: Ver enlace, excepto el problema 14.
Clase del 31 de octubre de 2006:
Noción de distancia y de espacio métrico. Ejemplos.
Se recuerda la noción de límite de una sucesión de números reales, las propiedades fundamentales de los límites, el álgebra del infinito y los tipos de indeterminaci´n. Se puden hacer todos los problemas 4(a), (d), (m), (o), (q), (s), (z) y 7 de la hoja de problemas número 4: Ver enlace.
Clase del 3 de noviembre de 2006:
Se resuelven los problemas 4(s) y 4(q) y se comenta el 4(o). Se recuerda cómo se resuelve la indeterminación del tipo 1 elevado a infinito, mediante el número e.
Noción de inifinitésimo e infinitésimos equivalentes. Ejemplos. Aplicación al cálculo de límites.
Criterio de Stolz. Se pueden hacer los problemas (usando el criterio de Stolz) 4(e), (f), (g), (i), (j), (k), 8, 9 y 12 de la hoja de problemas número 4: Ver enlace.
Clase del 6 de noviembre de 2006:
Se resuelve un límite mediante infinitésimos equivalentes. Regla de L'Hopital. Ejemplo y casos de aplicación.
Criterios de la media aritmética y de la media geométrica.
Clase del 8 de noviembre de 2006:
Se demuestra y aplica el criterio de la media geométrica. Se comentan lo problemas de la hoja 4, y se resuelve el problema 6 de esa hoja.
Fórmula de Stirling y su aplicación en el cálculo de límites.
Sucesiones de Cauchy y sucesiones convergentes. Propiedades. Espacios métricos completos.
Clase del 10 de noviembre de 2006:
Criterio del cociente raíz. Se hace el problema 4 (u) de la hoja 4 con este criterio.
Binomio de Newton con exponente no entero. Desarrollo en una serie infinita. Se hace el problema 4 (g) de la hoja 4 usando este desarrollo.
Clase del 13 de noviembre de 2006:
Se recuerda el Criterio del cociente raíz, y el Binomio de Newton con exponente no entero.
Series numéricas. Definición. Series convergentes, divergentes y oscilantes.
Cristerio necesario de convergencia (suficiente de divergencia en caso de series de términos positivos). La serie armónica. Demostración de su divergencia mediante la comparación con una integral definida.
Se enuncian los criterios del cociente y de la raíz para series de términos positivos. Ver problema 1 de la hoja de problemas número 5: Ver enlace.
Clase del 15 de noviembre de 2006:
Se explica el criterio de Raabe y se aplica a algunos ejemplos en los que el criterio del cociente no decide.
Se estudia la serie armónica generalizada, y el criterio de comparación de series de téminos positivos. cuerda el Criterio del cociente raíz, y el Binomio de Newton con exponente no entero.
Se hace, entre otros el problema 1 (i) de la hoja de problemas número 5: Ver enlace.
Clase del 17 de noviembre de 2006:
Se explica el criterio de Raabe y se aplica que se basa en la comparación con la serie armónica generalizada. Se hacen algunos ejemplos.
Se explican también el criterio logarítmico y el criterio integral de Cauchy. Se hacen, entre otros los problemas 1 (g), 1 (f) y 1(l) de la hoja de problemas número 5: Ver enlace. Se pueden hacer, usando los criterios vistos los problemas: 1(h), 1(i), 1(n), 1(o), 1(q), 1(r), 1(s), 1(u) y 1(w).
Clase del 20 de noviembre de 2006:
Se demuestran dos casos de los criterios del cociente y de la raiz, y se proponen los otros dos como ejercicios.
Series alternadas. Concepto. Teorema de Leibnitz. Cota del error cometido al sustituir una serie alternada convergente por un suma parcial. Ejemplos. Se hacen los problemas 1(3), 1(k) de la hoja de problemas número 5: Ver enlace. Convergencia absoluta y convergencia condicional. Teoremas de Dirichlet y de Riemann.
Clase del 22 de noviembre de 2006:
Series de potencias. Defición. Ejemplos. Radio de convergencia. Modo de calcularlo. Ejemplos.
Conjunto de convergencia de una serie de potencias. Se hacen los problemas 8 y 9 de la hoja de problemas número 5: Ver enlace.
Clase del 24 de noviembre de 2006:
Se recuerdan conceptos de funciones continuas de una variable. (Definición, gráficas y propiedad fundamental) las funciones hiperbólicas. Ver enlace. Definición, concepto, interpretación geométrica de la derivada. Reglas de derivación. Polinomio de Taylor de una función de grado n. Se proponen algunos ejercicios.
Clase del 27 de noviembre de 2006:
Se halla el desarrollo de la función y = sen x, en x = 0 de grado n. Repaso de los teoremas fundamentales sobre continuidad y derivabilidad de funciones de una variable. Ver enlace. Expresión de un polinomio en potencias de (x-a), mediante el teorema de Rufini. Lema previo del teorema de Taylor.
Clase del 29 de noviembre de 2006:
Teorema de Taylor. Explicación y consecuencias. Caracterización de los m&aactue;ximos y mínimos de funciones derivables. Problemas de optimización. Ejemplo. Funciones de varias variables. Dominio de definición. Gráfica de una función de dos variables. Ejemplo de límites reiterados de una función de dos variables.
Clase del 1 de diciembre de 2006:
Concepto de límite de una función de dos variables. Modo de calcularlo. Límites reiterados. Si son distintos o uno de ellos no existe, el límite de la funcioón en el punto no existe. Límites direccionales. Si el resultado depende de la dirección, el límite de la funcioón en el punto no existe. Cálculo del límite de la funcioón en un punto mediante el cambio a coordenadas polares. Ejemplos. Se hacen los problemas 3(a) y 3b) de la hoja de problemas número 6. Hacer los problemas 2, 3(c), 3(d), 3(e) y 3(f) de la hoja de problemas número 6: Ver enlace.
Clase del 4 de diciembre de 2006:
Se discute el problema 3 (d) de la hoja de problemas número 6 Ver enlace. Se hace el problema 2 de la misma hoja, y se comentan los ejercicios 3(i), 3(j) y 3(k). Definición de derivada parcial de una función en un punto. Ejemplo. Se pueden hacer, con esta definición las derivadas parciales en el origen de las funciones del ejercicio 7 de la hoja número 6.
Clase del 11 de diciembre de 2006:
Concepto de diferencial de una funación de una variable. Función lineal que mejor aproxima la diferencia de f en los puntos "x" y "a". Expresión de la diferencial como derivada "por" la diferencial de la variable independiente. Aplicación diferencial de una función de dos variables. Existencia de derviadas parciales y existencia de diferencial. Condición de un cierto límite igual a 0. Ejemplos.
Clase del 13 de diciembre de 2006:
Derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwartz sobre igualdad de las parciales segundas cruzadas. Ejemplo del cálculo de las parciales segundas de una fución definida "a trozos". Diversas expresiones del plano tangente a una funcion diferenciable. Vector gradiente. Ejemplos.
Clase del 15 de diciembre de 2006:
Se estudia el concepto de diferenciales sucesivas de funciones de 1 y 2 variables. Expresión del teorema de Taylor de una función de una variable usando diferenciales. Diferenciales sucesivas de funciones de dos variables. Ejemplo: Cálculo de las diferenciales sucesivas en el punto (1,-1) de una función polinómica de dos variables.
Clase del 18 de diciembre de 2006:
Teorema de Taylor para una función de dos variables. Ejemplos. Se pueden hacer los problemas 1 a 5 de la hoja de problemas número 7 Ver enlace.
Condición necesaria de punto de máximo o mínimo de una fución de dos variables. Interpretación geomeétrica. Teorema de caracterización de la diferencia segunda (en el caso de funciones de dos variables).
Condición suficiente de punto de máximo, mínimo o punto de silla de una fución de dos variables. Se pueden hacer los problemas 6, 8 y 11 de la hoja de problemas número 7 Ver enlace.
Clase del 20 de diciembre de 2006:
Demostración de la condición suficiente de máximo o mínimo en funciones de dos variables mediante el teorema de Taylor. Concepto de punto de silla. Ejemplos.
Dicusión de máximo o mínimo en el caso de que el determinante Hessinao sea cero. Desarrollo en cuadrados de la diferencial segunda. Concepto de punto de casi-máximo o casi-mínimo. Ejemplos. Se hace el problema 18 de la hoja de problemas número 7 Ver enlace.
Clase del 22 de diciembre de 2006:
Resolución de algunos problemas de optimización. Ver hoja de problemas número 7 Ver enlace. Introducción a problemas de optimización condicionados. El método de los multiplicadores de Lagrange.
Clase del 8 de enero de 2007:
El método de los multiplicadores de Lagrange. Ejemplos. Ver hoja de problemas número 7 Ver enlace.
Clase del 10 de enero de 2007:
Resolución de algunos problemas de optimización. Se comentan los restantes problemas de la hoja número 7 Ver enlace.
Clase del 12 de enero de 2007:
Definición de derivada direccional según la dirección del vector v=(v1,v2) con módulo 1. Ejemplos. Relación de la derivada direccional con las derivadas parciales, continuidad y diferenciabilidad de una función en un punto. Se comenta el problema 4 de la hoja número 6 cuyo enunciado no era correcto. Para que se cumpla lo que dice el problema, el numerador de la funcion debe ser x^2y, en lugar de xy. Ver la hoja ya corregida en el enlace.
Clase del 15 de enero de 2007:
Derivadas de funciones compuestas y diferenciales. Casos de funciones de una variable y de varias variables. Generalización. Regla de la cadena. Aplicación a cambio de variables. Ejemplos. Se resuelve el problema 8 de la hoja 6. También se resuelve el problema 4 de la hoja número 6 con el enunciado correcto. Ver la hoja de problemas en el enlace.
Clase del 17 de enero de 2007:
Ejercicios 9 y 10 de la hoja de problemas n. 6: ver el enlace. Enunciado del teorema de la función inversa. Definición de cambio de variables. Observaciones sobre la condición jacobiano distinto de cero.
Clase del 19 de enero de 2007:
Se resuelven algunos ejercicios de cambio de variables y se reparte en papel una hoja de problemas con más problemas de cambio de variables.
Clase del 22 de enero de 2007:
Teorema de la funión implícita. Diversos casos. Determinantes jacobianos. Ejemplos.
Clase del 24 de enero de 2007:
Se resuelven problemas de cambio de variables y del teorema de la función implícita. Ejemplos.
