Clase de 26 de septiembre de 2007:
Presentación de la Asignatura y del Proyecto Docente: Ver enlace. Test inicial con solución.Números Reales -- Introducción: los números naturales. El principio de inducción. Ejemplos. Ver enlace.
Clase de 28 de septiembre de 2007:
Se resuelve por el método de inducción la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. Números enteros y números racionales. Propiedad de densidad de los números racionales y propiedad arquimediana. Ver enlace . Se reparte la hoja de problemas números 1, disponible en EL ENLACE. Hacer los problemas n. 8 y n. 12.
Clase de 1 de octubre de 2007:
Se resuelven los problemas n. 8 y n. 12 de la hoja de problemas números 1, disponible en EL ENLACE. Números racionales y números decimales. Números irracionales. Ejemplos. Números reales. Propiedades.
Clase de 1 de octubre de 2007:
Se resuelven los problemas n. 8 y n. 12 de la hoja de problemas números 1, disponible en EL ENLACE. Números binómicos, definición y propiedades. Binomio de Newton. Ejemplos. Números racionales y números decimales. Números irracionales. Ejemplos. Números reales. Propiedades.
Clase de 3 de octubre de 2007:
Se resuelven los problemas 3, 4, 5 y 6 de la hoja de problemas números 1, disponible en EL ENLACE. Propiedades de las potencias y raíces de números reales. Ver, por ejemplo EL ENLACE .
Clase de 5 de octubre de 2007:
Números complejos. Definición. Suma y producto de números complejos. Representación gráfica. Conjuado de un número complejo. Cociente de números complejos. Módulo y argumento de un número complejo. Forma binómica y cartesiana. Ejemplos. Se pueden hacer los problemas 1 y 2 de la hoja de problemas n. 2, disponible en EL ENLACE.
Clase de 8 de octubre de 2007:
Se resuelven los problemas 1 y 2 de la hoja de problemas n. 2, disponible en EL ENLACE. Números complejos en forma polar, trigonométrica y exponencia. Fórmula de Euler. Producto, cociente, potencia y raíz n-ésima de un número complejo. Se pueden hacer los problemas 3, 4(a-d), y 7(a), de la hoja de problemas n. 2 (EL ENLACE) .
Clase de 10 de octubre de 2007:
Se resuelven los problemas 3, 4(b-d), y 7(a) de la hoja de problemas n. 2. Se explica la fórmula raíz n-ésima raíz n-ésima de un número complejo. Se repasan las propiedades de los logaritmos (reales).
Se puede ver en el (ENLACE) lo correspondientes a los logaritmos.
Vemos cómo se calculo la potencia de base el número e y exponente complejo, y la formula del logaritmo (complejo) de un número. Se pueden hacer los problemas 9(a,b,c,d,g) y el problema 11 de la hoja de problemas n. 2 (ENLACE) .
Problema propuesto: (el mapa del tesoro)
(ver EL ENLACE) .
Clase de 15 de octubre de 2007:
Más problemas de números complejos hay en EL ENLACE .
Además, un breve resumen de las operaciones básicas con números complejos está en EL ENLACE . Se demuestra la fórmula que nos da el logaritmo neperiano (complejo) de un número. Estudiamos también la potencia de base y exponente complejo. Se resuelve el problema sen z = 3.
Clase de 17 de octubre de 2007:
Se resuelven los problemas 10 (d), 7(b), y 17 de la hoja de problemas 2, y el problema 29(a) de la hoja de problemas adicional que esta en EL ENLACE .
Se hacen en clase las preguntas que puedes encontrar en EL ENLACE .
Clase de 19 de octubre de 2007:
Se comentan las preguntas hechas en la clase pasada que puedes encontrar en EL ENLACE . Interpretación geométrica del ln de un número complejo.
Se resuelven los problemas 25 y 29 de la hoja de problemas 2, y el problema del mapa de tesoro.
Se pueden hacer el resto de preguntas de la hoja de problemas 2, excepto los problemas 5, 6 y 22.
Clase de 22 de octubre de 2007:
La respuesta de las preguntas hechas en clase la semana pasada se pueden encontrar en EL ENLACE . Las notas estan en VER NOTAS .
Se resuelve, y se comenta, el problema 1 del examen de septiembre de 2007.
Gráficas de algunas funciones reales. Definición de las funciones hiperbólicas. Gráficas y fórmula fundamental. Se propone el problema 22 de la hoja de problemas 2.
Clase de 24 de octubre de 2007:
Sucesiones. Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. Ejemplos.
Criterio de Stolz. Ejemplos. Se comentan los problemas de límites de sucesiones que han aparecido en los últimos exámenes.
Un resumen de lo visto hoy lo puedes encontrar en EL FICHERO .
A partir de ahora, se pueden entregar problemas para ser corregidos, los viernes. El próximo viernes se pueden entregar TRES problemas de complejos o de cálculo de límites.
Clase de 26 de octubre de 2007:
Infinitésimos e infinitos. Ejemplos. Fórmula de Stirling.
Una tabla útil de infinitos e infinitésimos equivalentes está en EL FICHERO .
Un ejemplo de cálculo de un límite en EL FICHERO .
Clase de 29 de octubre de 2007:
Se comenta de nuevo el último ejemplo de límite resuelto en clase. También se utilizan infinitésimo equivalentes.
Se explica la fórmula de desarrollo del binomio de exponente no natural, y se aplica para resolver el problema 4(b) de la hoja de problemas 4. La hoja la puedes encontrar en EL FICHERO . El problema 4(b) se resuelve de otras dos formas. Se comenta el domuento siguiente, que muestral algunos ejemplo de repaso de Bachillerato de límites de funciones:
Problemas de repaso de límites y continuidad de funciones:
PRESENTACION. El documento en pdf .
El próximo miércoles, habrá preguntas en clase, entre las que apareceá la fórmula de Stirling y el criterio de Stolz.
Clase de 31 de octubre de 2007:
Se hacen preguntas en clase que puedes encontrar en en EL ENLACE . Las notas están en VER NOTAS . La solución de algunas esas preguntas están en VER SOLUCION .
Se comentan todos los apartados del problema 4 de la hoja de problemas 4, de los que se resuelven los más difíciles. La hoja la puedes encontrar en EL FICHERO .
Criterio del sandwich. Ejemplos.
Clase de 2 de noviembre de 2007:
Se comentan los problemas 5 al 13 de la hoja de problemas 4, que son los problemas que se pueden resolver de la hoja 4.
Concepto de sucesión de Cauchy. Relación entre sucesión de Cauchy y sucesión convergente. Ejemplos.
Sucesiones monótonas y acotadas. Ejemplos. Se resuelve el problema 3 de la hoja de problemas n. 4.
Se recogen problemas. Las notas actualizadas, incluyendo lo problemas de hoy estan en VER NOTAS .
Clase de 5 de noviembre de 2007:
Se devuelven corregidos los problemas a los alumnos que los entregaron el viernes pasado.
Empezamos el tema de series numéricas. Un buen compendio de lo que veremos lo puedes encontrar EL ENLACE . Algunos ejemplos resueltos adicionales están en EL ENLACE . Un resumen con algunos criterios que hay que saber aplicar está en EL ENLACE
Más problemas de series hay en la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) .
Concretamente hoy hemos visto la definición de una serie numérica. Su carácter.
El criterio necesario de convergencia, el criterio de la raíz o de Cauchy, el criterio del cociente o de D'Alembert, y el criterio de Raabe, con ejemplos ilustrativos de todos ellos.
También se ha visto la definición de la serie armónica y que es divergente.
Los alumnos que no aparecen en las Notas de Clase del curso 2007-2008 ( VER NOTAS ) han de pasar por tutorías o hablar con el profesor
Clase de 7 de noviembre de 2007:
Se estudian: - el criterio de comparación de series de términos positivos;
- el criterio comparación asintótica. Ejemplos.
Se estudia la serie armónica generalizada.
Se estudia el criterio de Pingsheim (que no es más que el criterio de comparación asintótica con la serie armónica generalizada).
Se comentan los aparatados del problema 1 de la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) . Se dan indicaciones de cómo se pueden resolver los problemas.
Clase de 9 de noviembre de 2007:
Se hacen en clase un par de ejercicios de series que fueron propuestos con el criterio de comparación.
Se hace el problema 4(n) de la hoja de problemas n. 4, con la observación de que la raíz que aparece en el enunciado debe ser de índice n^2.
Se hace el problema 5 de la hoja de problemas n. 4.
Se actualizan las notas de clase con los problemas entregados hoy ( VER NOTAS ).
Clase de 12 de noviembre de 2007:
Se demuestran un par de criterios, uno de convergencia y otro de divergencia, del cociente y de la raíz.
Se esudia el criterio integral, donde se deduce el carácter de una serie del carácter de una integral impropia. Ejemplo.
Series alternadas. Concepto y ejemplos. Teorema de Leibnitz sobre series alternadas. Ejemplos.
El próximo miércoles habrá preguntas en clase de series.
Clase de 14 de noviembre de 2007:
Convergencia absoluta de series de términos arbitrariamente positivos y negativos.
Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente. Ejemplos. Lo contrario no es cierto. Ejemplo.
Series incondicionalente convergentes. Convergencia absoluta equivale a convergencia incondicional.
Series de potencias. Radio de convergencia y conjunto de convergencia. Se resuelve el problema 13 de la la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) . De esa mismo hoja se pueden hacer (y entregar) los problemas del 7 al 14.
Se actualizan las notas de clase con las preguntas de clase de hoy ( VER NOTAS ). VER SOLUCION.
Clase de 16 de noviembre de 2007:
Se resuelven varios problemas de series de potencias. Radio de convergencia y conjunto de convergencia. Ver problemas del 7 al 14 de la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) .
Clase de 19 de noviembre de 2007:
Se comentan los problemas entregado el pasado viernes. Algunos errores comunes. Se resuelve algún problema (del 7 al 14) de la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) .
Repaso del concepto de derivada: significado geométrico (pendiente de la recta tangente). Para algunas animaciones sobre el concepto de derivada: Ver animaciones 5 y 6 de la página de Douglas N. Arnold VER animaciones . Propiedades de las derivadas. VER Tabla de derivadas (e integrales). Un montón de ejercicios (son solución) de derivadas los puedes encontrar en EL ENLACE. Se aconseja que pruebes a ver si sabes resolver todos esos problemas.
Se termina la clase con la definición formal de serie de Taylor y el planteamiento de 5 ejercicios.
Clase de 21 de noviembre de 2007:
Se comentan algunos ejercicios de derivadas, y los ejercicios sobre la serie de Taylor propuestos el pasado día.
Teoremas fundamentales de funciones derivables de una variable. VER Enlace.
Clase de 23 de noviembre de 2007:
Polinomio de Taylor de grado n de una función f en x=a. Expresión del Resto de Lagrange.
Teorema de Taylor. Ejercicios de aplicación: acotación del error, encontrar el grado del polinomio de Taylor para que el error cometido al sustituir la función por el polinomio de Taylor sea menor que una cantidad dada.
Un applet Java sobre aproximaciones de Taylor de algunas funciones se puede encontrar EN EL ENLACE.
Una página de problemas del teorema de Taylor la encuentras en EL ENLACE.
Clase de 26 de noviembre de 2007:
Se hace (de 4 formas distintas) el desarrollo en serie de Taylor de la función f(x)=1/(1+x2). Se comenta la hoja de problemas de Taylor (en ver el enlace) de la que se eliminan los problemas 8, 9, 11 y 17; y se resuelve en clase el problema 13. Se halla el desarrollo en serie de Taylor de la función (1+x)1/3 y se encuentra su radio de convergencia.
Topología de la recta real. Conjuntos de números reales: conjunto vacío y conjunto total. Intervalos: son los únicos subconjuntos conexos de R.
Unión e intersección de conjuntos. Ejemplos.
Conjuntos de R que no son intervalos. Ejemplos. Definición de entorno de un número real.
Clase de 28 de noviembre de 2007:
Punto interior y conjunto interior, punto exterior y conjunto exterior, punto frontera y conjunto frontera. Propiedades y ejemplos.
Punto adherente y conjunto adherente. Punto de acumulación y conjunto derivado. Punto asilado y conjunto de los puntos aislados. Propiedades y ejemplos. Problemas de este tema se encuentran en la hoja de problemas n. 3 (ver hoja de problemas) y también en la hoja de problemas de topología que se ha repartido hoy en clase y puedes encontrar en (ver problemas de topología) .
Terminamos la clase con la definición de conjunto abierto y conjunto cerrado de R.
Clase de 30 de noviembre de 2007:
Se resuelve en clase el problema que apareció en el examen de diciembre realizado ayer.
Punto de aglomeración y punto límite de una sucesión. Caracterización de los puntos de acumulación de un conjunto como los puntos límite de sucesiones de puntos distintos del conjunto. Ejemplos.
Clase de 3 de diciembre de 2007:
Concepto de distancia en un conjunto. Ejemplos y definición.
La distancia usual en R. Comprobación de que es una distancia. Concepto de espacio métrico. Ejemplos. Empezamos el tema de Funciones de varias variables. Gráfica de una función de dos variables. Gráfica de algunas superficies: plano, esfera, cilindro, paraboloide elíptico, elipsoide elíptico. Ejemplo de límites reiterados de una función de dos variables.
Clase del 5 de diciembre de 2007:
Concepto de límite de una función de dos variables. Modo de calcularlo. Límites reiterados. Si son distintos o uno de ellos no existe, el límite de la funcioón en el punto no existe. Límites direccionales. Si el resultado depende de la dirección, el límite de la funcioón en el punto no existe. Ejemplos.
Cálculo del límite de la funcioón en un punto mediante el cambio a coordenadas polares. Ejemplos. Se hacen los problemas 3(a) y 3b) de la hoja de problemas número 6. Hacer los problemas 2, 3(c), 3(d), 3(e) y 3(f) de la hoja de problemas número 6: Ver enlace.
Concepto de derivada parcial de una función de dos variables en un punto. Ejemplos.
Clase del 7 de diciembre de 2007:
Concepto de derivada parcial de una función de dos variables en un punto. Ejemplos: problema 7 de la hoja de problemas número 6: Ver enlace.
Relación entre continuidad y existencia de derivadas parciales en el punto: no existe relación. Ejemplos.
Condición de diferenciabilidad: un "cierto límite" ha de ser igual a cero. Ejemplos.
Clase del 10 de diciembre de 2007:
Derivadas parciales de una función de dos variables en un punto y continuidad. Ejemplos propuestos.
Interpretación geométrica de las derivadas parciales. Ecuación del plano tangente a una superficie. Ejemplos.
Definición de derivada direccional según la dirección de un vector. Ejemplo.
Condición de diferenciabilidad: un "cierto límite" ha de ser igual a cero.
Clase del 12 de diciembre de 2007:
Diferencial de una función de una variable.
Diferencial de una función de dos variables. Condiciones suficientes de diferenciabilidad. Ejemplos.
Clase del 14 de diciembre de 2007:
Derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwartz. Ejemplos.
Diferenciales sucesivas de funciones de una y varias variables. Ejemplos y problemas propuestos.
Clase del 17 de diciembre de 2007:
Teorema de Taylor en dos variables. Polinomio y expresi&ocute;n del término complementario. Ejemplos y problemas propuestos. El miércoles se preguntará en clase tres cuestiones: cálculo de las derivadas parciales en un punto, diferenciabilidad de una función en un punto, y diferenciales sucesivas en un punto.
Clase del 19 de diciembre de 2007:
Hoy se han suspendido las clase por alerta meteorlógica. Las preguntas de clase que se iban a hacer hoy las puedes encontrar en en EL ENLACE .
Clase del 21 de diciembre de 2007:
Máximos y mínimos relativos o locales. Caso de una variable (repaso) y dos variables. Condición necesaria de Máximo o mínimo local de una función de dos variables: derivadas parciales primeras igual a cero. Condición suficiente (discusión de los puntos críticos): Evaluación del determinante hessiano y de la parcial segunda respecto de x, en el punto crítico. Se hace el problema n. 6 de la hoja de problemas número 7, disponible en EL ENLACE.
Se pueden hacer los problemas 7, 8 y 10 de esa misma hoja,
y también los preguntas de exámenes siguientes: n. 6(a) de febrero de 2004; n. 7 de junio de 2004; n. 6 de septiembre de 2004; n. 8 de junio de 2005; n. 8 de diciembre de 2005; n. 8 de febrero de 2006 (con solución); n. 8 de junio de 2006; n. 8 de septiembre de 2006; n. 7 de diciembre de 2006.
A petición de algunos alumnos se recuerda que, después de vacaciones se pueden entregrar problemas de exámenes para que los corrija.
¡FELIZ NAVIDAD! y hasta el año que viene.
Clase del 9 de enero de 2008:
Máximos y mínimos relativos o locales de funciones de dos variables. Explicación del teorema mediante el desarrollo de Taylor. Puntos de casi-máximo y casi-mínimo. Ejemplos.
Clase del 11 de enero de 2008:
Explicación de la condición suficiente de Máximo y mínimo relativo mediante la diferencial segunda de la función en el punto. Analogía con el caso de una variable. Se resuelve el problema n. 6 de la hoja de problemas número 7, disponible en EL ENLACE. Más ejemplos hay en los exámenes. Ver sugerencias de la clase del día 21 de diciembre.
Clase del 14 de enero de 2008:
Máximos y mínimos relativos de funciones de tres variables.
Máximos y mínimos condicionados o ligados. Método de los multiplicadores de Lagrange. Se resuelven los problemas n. 13 y 9 de la hoja de problemas n. 7, disponible en EL ENLACE. También se resuelve el problema n. 7 del examen de diciembre de 2007 (la solución la puedes encontrar en EL ENLACE).
Clase del 16 de enero de 2008:
Problemas de Máximos y mínimos condicionados o ligados. Método de los multiplicadores de Lagrange. Se resuelven los problemas n. 7 del examen de Septiembre de 2007. La solución (actualizada y corregida) la puedes ver en EL ENLACE.
Se comentan los problemas de la hoja de problemas n. 7, disponible en EL ENLACE.
Clase del 18 de enero de 2008:
Problemas de Máximos y mínimos condicionados o ligados. Método de los multiplicadores de Lagrange.
Concepto de cambio de variables (independientes). Ejemplo. Cambio de variables a polares.
Clase del 21 de enero de 2008:
Problemas de cambio de variables. Arbol de dependencia de variables. Derivación implícita. Ejemplos.
Clase del 23 de enero de 2008:
Las preguntas de clase que se han hecho hoy las puedes encontrar en en EL ENLACE . Estas preguntas son resueltas en clase. Se resuelve el problema n. 12 de la hoja de problemas n. 7, disponible en EL ENLACE. Las notas de las preguntas de clase de este día las puedes encontrar en en EL ENLACE .
