Clase de 29 de septiembre de 2005:
Presentación Proyecto Docente Presentación Página web de la asignatura Introducción: conjuntos (abierto, cerrado, conexo, convexo). Superfícies, vector normal y plano tangente Ver páginas 1 - 9 del "Introduction to Partial Differential Equations with Applications", E.C. Zachmanoglou and D.W. Thoe
Clase de 30 de septiembre de 2005:
Teorema de la función implícita. Curvas (en forma paramétrica, y como intersección de superfícies) y vectores tangentes. Ver páginas 10 - 16 del libro de Zachmanoglou and Thoe
Clase de 4 de octubre de 2005:
El problema de valor inicial en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (y sistemas) Ejemplo: problema 9 de la hoja de problemas 1. Repasar las ecuaciones diferenciales lineales (ver por ejemplo páginas 3 - 7 del enlace )
Clase de 6 de octubre de 2005:
Curvas y Superfícies integrales de campos vectoriales (Ver páginas 24 - 51 del Zachmanoglou and Thoe). Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Ecuaciones casi-lineales. (Ver páginas 24 - 44, y 59 - 62 del Zachmanoglou and Thoe).
Clase de 7 de octubre de 2005:
El problema de valor inicial para las Ecuaciones de primer orden casi lineales ¿Cómo se resuelve? Condiciones de existencia y unidad de solución. (Ver páginas 64 - 72 del Zachmanoglou and Thoe).
Clase de 11 de octubre de 2005:
Ejercicios del problema de valor inicial. Ver problemas 1 y 2 de Hoja de problemas nº 2 Funciones analíticas y desarrollos de Taylor en una y dos variables. Problema 3 de la hoja 2.
Clase de 13 de octubre de 2005:
Soluciones en series de potencias. El teorema de Cauchy-Kovalevsky. Problemas 4 y 5 de Hoja de problemas nº 2 (Ver páginas 96 - 110 del Zachmanoglou and Thoe). Series de Fourier. Ejemplos. Condiciones de Dirichlet. Funciones pares e impares.
Clase de 14 de octubre de 2005:
Series de Fourier. Coeficientes. Ver, por ejemplo enlace y el applet . Series de Fourier de una función de soporte compacto: extensión par e impar.
Clase de 18 de octubre de 2005:
Diferenciación e integración de Series de Fourier. EDPs de segundo orden con coeficientes constantes. Linealidad y superposición. Clasificación. Invarianza del carácter bajo cambios de variables. La ecuación del calor. Introducción. (Ver pags. 3- 13 del libro de Stanley J. Farlow).
Clase de 20 de octubre de 2005:
La ecuación del calor. Caso homogéneo. Método de sepración de variables. Convergencia de la solución. Ejemplos: extremos aislados. Solución estacionaria. Problemas 8, 11 y 12 de Hoja de problemas nº 2
Clase de 21 de octubre de 2005:
La ecuación del calor. Condiciones de contorno no-homogéneas. Cambio de variable e interpretación de la solución. Condiciones de cortorno mixtas. (Ver pags. 43- 56 del libro de Stanley J. Farlow).
Clase de 25 de octubre de 2005:
La ecuación del calor. Condiciones de contorno mixtas. La ecuación del calor. Caso general. Problema no homogéneo con condiciones de contorno no homogéneas. Se resuelve la pregunta no. 2 del examen de Junio de 2005. (Ver pags. 64- 71 del libro de Stanley J. Farlow).
Clase de 27 de octubre de 2005:
La ecuación del calor. Principio del máximo y del mínimo. Unicidad de solución y dependencia continua de los dotos. (Ver pags. 333 - 335 del libro de Zachmanoglou y Thoe). Se resuelve la pregunta no. 3 del examen de Junio de 2004.
Clase de 28 de octubre de 2005:
Ecuaciones de tipo hiperbólico. La ecuación de ondas unidimensional. El problema homogéneo. Método de separación de variables. (Ver páginas 153-160 del libro de Stanley J. Farlow; o 9-11 de Pde ToolBox ... . ). Unicidad de solución: problema 10 de la Hoja de problemas nº 2
Clase de 3 de noviembre de 2005:
Se termina el problema 10 de la Hoja de problemas nº 2 La ecuación de ondas amortiguada. Se resuelve un problema no homogéneo.
Clase de 4 de noviembre de 2005:
Ecuaciones de tipo elíptico. La ecuación de Laplace, y la ecuación de Poisson. Funciones armónicas. Significado de la ecuación de Laplace. (Ver páginas 245-252 del libro de Stanley J. Farlow). Principio del máximo y del mínimo para las funciones armónicas. Unicidad de solución y dependencia continua de los datos del problema de Dirichlet.
Clase de 8 de noviembre de 2005:
La ecuación de Laplace. Resolución del problema de Dirichlet en un rectángulo (Ver páginas 14-15 de Pde ToolBox ... , para un esquema del método de Fourier). La ecuación de Poisson en un rectángulo. El problema de Dirichlet en el disco unidad.
Clase de 10 de noviembre de 2005:
Introducción a la teoría de variable compleja. Los números complejos. Propiedades. Funciones de variable compleja. Parte real y parte imaginaria. Límites y continuidad de funciones. Definición de derivada de una función de variable compleja. Las condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones holomorfas. Problemas 1(a) y 1(b) de la Hoja de problemas nº 3 Desarrollo en serie de Taylor. Expresión de los coeficientes. Radio de convergencia. Funciones analíticas.
Clase de 11 de noviembre de 2005:
Se resuelve la ecuación del telegrafista (ecuación de ondas con término en u). Se resuelve un problema de Poisson en un rectángulo con condiciones de contorno no homogéneas.
Clase de 15 de noviembre de 2005:
Se comprueba que la parte real y la parte imaginaria de una función holomorfa son armónicas. Se resuelve el problema 2 de la Hoja de problemas nº 3 Toda función analítica es holomorfa, y su derivada es analítica. Se deducen los coeficientes del desarrollo de potencias, que son los de Taylor. Se halla el desarrollo en serie de Taylor de la función sen(z) mediante el de la exponencial. Se resuelven el problema 3 del examen de a Febrero de 2005, y el problema 5(b) del examen de a Febrero de 2004
Clase de 17 de noviembre de 2005:
Se demuestra que si una función de variable compleja es diferenciable, entonces verifica las condiciones de Cauchy-Riemann. Integración a lo largo de caminos. Definición de curva y de camino. Integral de variable compleja sobre un camino. Definición y propiedades. Ejemplos. Tma. de Cauchy: la integral de una función holomorfa en un abierto conexo sobre un camino cerrado es cero.
Clase de 18 de noviembre de 2005:
Versión del teorema de Cauchy para un conjunto convexo. Idea geométrica del índice de un punto respecto de un camino cerrado. Definición del índice y propiedades. Ejemplos. Enunciado de la fórmula integral de Cauchy y su aplicación al cálculo de integrales sobre caminos cerrados.
Clase de 22 de noviembre de 2005:
Se demuestra el teorema de Cauchy mediante la fórmula de Green. Se demuestra el teorema del índice. Se demuestra la fórmula de Cauchy, mediante el teorema de Cauchy para un conjunto convexo. Se demuestra el teorema de que toda función holomorfa es analítica (usando el desarrollo en serie del índice). Se resuelven diversos ejemplos de integrales sobre caminos cerrados y se proponen otros como ejercicios.
Clase de 24 de noviembre de 2005:
Se demuestra la fórmula de Cauchy para las derivadas. Problema 4(a) examen de Junio de 2005. Ejemplos: problemas 10, 16 y 17 de la Hoja de problemas nº 3. Se demuestran los dos teoremas de identidad para funciones analíticas. Ver esquema. Ejemplos.
Clase de 25 de noviembre de 2005:
Se comentan los teoremas de identidad. Se definen cero y orden de un cero de una función holomorfa. Se define singularidad aislada y los distintos tipos de singularidades aisladas mediante el límite de la función en el punto. Ejemplos.
Clase de 1 de diciembre de 2005:
Caracterización de singularidades mediante forma del desarrollo en serie alrededor de la singularidad. Ejemplos. Se demuestra el teorema de Liouville y se comentan los del módulo máximo y del módulo mínimo. Ver enlace. Ejemplos. Se definen las funciones meromorfas y el residuo de una función en un polo.
Clase de 9 de diciembre de 2005:
Se resuelve el problema 12 de la Hoja de problemas nº 3 Definición de cadena y ciclo. Indice de un punto respecto de un ciclo y Teorema de Cauchy global.
Clase de 12 de diciembre de 2005:
Se recuerda el teorema de Cauchy global, y el teorema de los residuos. Ejemplo. Desarrollos de Laurent. Definición, y ejemplos. Ver enlace. Desarrollos de Laurent obtenidos mediante desarrollos de Taylor y mediantes series geométricas.
Clase de 13 de diciembre de 2005:
Teorema de Laurent. Ver esquema de la demostración Ver enlace. Región de convergencia de una serie de Laurent, expresión de los radios. Ejemplos. Teorema binomial y su aplicación para encontrar la serie de Laurent de una función. Ejemplos.
Clase de 15 de diciembre de 2005:
Se repasa el teorema de Laurent. Aplicación de la teoria de variable compleja para el cálculo de integrales reales. Lemas de Jordan. Integrales tipo 1 y tipo 2. Ejemplos.* * * * *
El 24 de enero, martes, tendrá lugar un examen pre-final, en horario de clase.
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Clase de 16 de diciembre de 2005:
Aplicación de la teoria de variable compleja para el cálculo de integrales reales. Importancia del camino de integración en este tipo de problemas. Integrales tipos 3 y 4. Ejemplos. Más ejemplos de aplicación de la teoria de variable compleja para el cálculo de integrales reales en el enlace.
Clase de 20 de diciembre de 2005:
Demostración lemas 1 y 2 de Jordan. Más ejemplos de aplicación de la teoria de variable compleja para el cálculo de integrales reales. Transformada de Fourier de funciones continuas. Definición y propiedades básicas. Ver enlace ). Ver también el tema 4 del "Señales y sistemas", concretamente secciones 4.3, 4.4 y 4.6.
Clase de 22 de diciembre de 2005:
Transformadas Senos y Coseno de Fourier. Teoremas de inversión y relación con la derivada. Convolución. Teoremas de convolución en el tiempo y en la frecuencia. Teorema de Parseval y espectro de energía. Demostración (ver pag. 312 del "Señales y sistemas"). Funciones de correlación y teorema de Wiener-Kintchine. Se resuelven y comentan los problemas propuestos en el enlace.
Clase de 10 de enero de 2006:
Definición de la Transformada de Laplace, y de la transformada de Laplace unilateral. Ejemplos. Propiedeades de la transformada de Laplace. Ver un resumen en el enlace. Ver también los problemas 1, 2 y 3 de la Hoja de problemas nº 4
Clase de 12 de enero de 2006:
Definición de la Transformada de Laplace unilateral. Aplicación a la resolución de problemas de valor inicial. Ver ejemplos en el enlace. Un resumen de propiedades de la transformada de Laplace puede verse, por ejemplo, en el el enlace.
Clase de 13 de enero de 2006:
Definición de la Transformada de Z bilateral. Señales de tipo exponencial a derechas y a izquierdas y regiones de convergencia. Propiedades y ejemplos . Ver los problemas 11, 12 y 13 de la Hoja de problemas nº 4
Clase de 17 de enero de 2006:
Propiedades: linealidad, desplazamiento en el tiempo, producto por una señal exponencial, Diferenciación en el plano z, conjugación, inversión en el tiempo. Ejemplos . Convolución de señales de tiempo discreto. Teorema de convolución. Aplicación para hallar la convolución mediante la transformda inversa. Ver los problemas 14, 15 y 16 de la Hoja de problemas nº 4
Clase de 19 de enero de 2006:
Expresión de la transformada inversa de z mediante integración compleja. Ejemplos. Transformada Z unilateral. Teoremas de valor inicial. Problemas de valor inicial para ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes. Resolución mediante la transformada z. Ejemplos. Se comenta el problema 18 de la Hoja de problemas nº 4
Clase de 20 de enero de 2006:
Hoja de problemas nº 4 Se resuelve el problema 21, como aplicación de los teoremas de valor inicial. Se resuelve el problema 4 del examen de febrero de 2004, mediante dos caminos de integración: ver enlace Se resuelve el problema 5 del examen de septiembre de 2005. Ver solución corregida en el enlace
