Clase de 28 de septiembre de 2006:
Presentación de la asignatura y del Proyecto Docente: Ver enlace
Presentación Página web de la asignatura.
Test inicial con solución.
Introducción: conjuntos (abierto, cerrado, conexo, convexo). Derivadas parciales y Teorema de Schwartz. Ejemplo.
Clase de 29 de septiembre de 2006:
Superfícies, vector normal y plano tangente. Ver páginas 1 - 9 del "Introduction to Partial Differential Equations with Applications", E.C. Zachmanoglou and D.W. Thoe
Clase del 3 de octubre de 2006:
Hoy no hay clase, por reunión con el comité de evaluació externa de la Escuela. Sin embargo, en los documentos siguientes tienes un resumen de la resolución de las EDO lineales de segundo orden que debes conocer: Ecuación homogénea., Ecuación completa., y método de los coeficientes indeterminados.,
Clase del 5 de octubre de 2006:
Curvas y tangentes. En forma paramétrica y en forma implíncita. Teorema d ela función implícita. Problema de valor inicial de EDO de primer orden. Función Lipschitziana respecto de la segunda variable. Teorema de existencia y uniciadad de solución del PVI de las EDO de primer orden. Se resuelve el problema 8 de la Hoja de problemas nº 1.
Clase del 6 de octubre de 2006:
Se resuele el problema 9 de la Hoja de problemas nº 1. Curvas y superficies integrales de campos vectoriales. Primera integral de un campo vectorial.
Clase del 10 de octubre de 2006:
EDP de primer orden lineales y quasi-lineales. (Ver páginas 24 - 44, y 59 - 62 del Zachmanoglou and Thoe). Métodos de resolución. Ejemplos.
Clase del 13 de octubre de 2006:
El problema de valor inicial para las Ecuaciones de primer orden casi lineales ¿Cómo se resuelve? Se resuelve el problema 1(b) de la Hoja de problemas nº 2
Condición de existencia y unicidad de solución. Significado geométrico.
Hacer problemas 1 y 2 (que tengan solución única) de la Hoja de problemas nº 2
Clase del 17 de octubre de 2006:
El problema de valor inicial para las Ecuaciones de primer orden casi lineales Condiciones de no existencia de solución y de infinitas soluciones. Interpretación geométrica.
Se resuelve el problema 2 de la Hoja de problemas nº 2
Se recuerda la fórmula del desarrollo de Taylor de una función de una variable y se hace el problema 3 de la hoja 2.
Clase del 19 de octubre de 2006:
Se recuerda la fórmula del desarrollo de Taylor de una función de dos variables.
Concepto de función analítica. Soluciones en series de potencias de PVI. El teorema de Cauchy-Kovalevsky.
En EDO y EDP con valor inicial. Ejemplos de solución. Problemas 4 y 5 de Hoja de problemas nº 2 (Ver páginas 96 - 110 del Zachmanoglou and Thoe).
Clase del 20 de octubre de 2006:
Se resuleven dos ejemplos de PVI en EDP mediante el teorema de Cauchy-Kovalevsky.
Introducción de las EDP de segundo orden con coeficientes constantes. Ejemplos. Espacio de soluciones.
EDP y condiciones iniciales y de contorno. Problema homogéneo asociado.
Clase del 24 de octubre de 2006:
Clasificación de las EDP de 2º orden con coeficientes constantes. Ejemplos.
Invarianza del carácter bajo cambios de variables.
Series de Fourier. Ejemplos. Condiciones de Dirichlet. Funciones pares e impares. Series de Fourier. Coeficientes. Ver, por ejemplo enlace y el applet . Series de Fourier de una función de soporte compacto: extensión par e impar.
Clase del 26 de octubre de 2006:
La ecuación del calor. Introducción. (Ver pags. 3- 13 del libro de Stanley J. Farlow). Deducci´n de la solución estacionaria en el caso de extremos con solución impuesta, y en el caso de extremos ailados.
La ecuación del calor. Caso homogéneo, con condiciones tipo Dirichlet nulas en los extremos. Método de separación de variables.
Clase del 27 de octubre de 2006:
Se termina la deducción de la solución de la ecuación del calor, caso homogéneo, con condiciones tipo Dirichlet nulas en los extremos.
Se discute por qué la constante de separación debe ser negativa. Se deduce la solución estacionaria tomando límite en u(t,x) cuando t tiende a infinito. Se proponen dos problemas con distribución inicial de temperatura conocida. Problemas semejantes hay en las páginas 41 y 42 del libro de Stanley J. Farlow (ver).
Clase del 31 de octubre de 2006:
Se resuelven problemas de la ecuación del calor, caso homogéneo, con condiciones tipo Newmann nulas en los extremos. Y también con una condición tipo Robin (o mixta) en un extremo.
Se discute el problema no homogéneo con condiciones de contorno homogéneas, y el problema general, es decir Problema no homogéneo con condiciones de contorno no homogéneas.
Ver las páginas de la 43 a la 48 del libro de Stanley J. Farlow, con ejercicios propuestos.
Clase del 2 de noviembre de 2006:
Se resuelven algunos problemas de la ecuación del calor (caso extremos aislados).
Se demuestra la convergencia de la solución del problema dada por el método de Fourier. Se demuestra asimismo la unicidad de la solución mediante el funcional de energía.
Se introduce la ecuación de ondas unidimensional.
Clase del 3 de noviembre de 2006:
Se termina la resolución de la ecuación de ondas, con condiciones tipo Dirichlet nulas en los extremos.
Se la unicidad de la solución mediante el funcional de energía.
Se estudia el caso general, es decir, ecuación no homogénea, con condiciones de contorno no homogéneas.
Clase del 7 de noviembre de 2006:
Ecuaciones de tipo elíptico. Significado geométrico del laplaciano. Funciones arm&onicas y propiedad del valor medio. Método de Fourier para el caso de la ecuación de Laplace en un rect&angulo. Discusión sobre la constante de separación. Principio del máximo y del mínimo de las funciones armónicas.
Clase del 9 de noviembre de 2006:
Propiedades de unicidad de solución del problema de Dirichlet, y de dependencia de los datos (demostración basada en el principio de máximo). Resolución de un problema no homogéneo en un rectángulo.
Clase del 10 de noviembre de 2006:
Ecuación EDP Elíptica no homogénea, con condiciones de contorno no homogéneas: cambio de variable. Problema de Dirichlet en el círculo unidad: ecuación transformada. Solución del problema en serie de Fourier.
Clase del 14 de noviembre de 2006:
Números complejos y operaciones elementales. Noción de función de variable compleja. Parte real y parte imaginaria. Límites y continuidad de funciones de variable compleja. Derivada de una función de variable comleja. Condiciones de Cauchy-Riemann. Ejemplos. Se hacen los apartados (a), (b) y (c) del problema 1 de la Hoja de problemas nº 3. Se propone el problema 3.
Concepto de función holomorfa. Desarrollo en serie de potencias y fórmula para el radio de convergencia.
Clase del 16 de noviembre de 2006:
Ejemplos de desarrollos en serie de potencias. Concepto de función analítica en un conjunto abierto y conexo. Toda función analítica es derivable. Consecuencias: el desarrollo de potencias es único y coincide con el de Taylor. Ejemplos. Concepto de función entera. Teoremas de identidad y aplicación a algunos ejemplos. Un esquema de la demostración de los teoremas de identidad se puede ver en el enlace .
Clase del 17 de noviembre de 2006:
Ejemplos de desarrollos en serie de potencias. Problemas 7,8, 13 y 16 de la pag. 114 del libro de William R. Derrick (Variable compleja con aplicaciones), disponible en la biblioteca de la Escuela. Cero de una función holomorfa. Orden del cero. Ejemplos. Propiedad sobre el desarrollo de potencias en un cero de orden m de una función analítica.
Clase del 21 de noviembre de 2006:
Idea geométrica del índice un punto respecto de una curva. Curvas y caminos. Definición de integral de una función de variable compleja sobre un camino. Ejemplos y propiedades de la integral.
Clase del 23 de noviembre de 2006:
Definición de índice un punto respecto de una curva. Teorema del índice un punto respecto de una curva. El índice un punto respecto de una curva cerrada es una función a valores enteros, que es constantes que cada componente conexa del complementario de la curva. Teorema de Cauchy para un conjunto convexo, y fórmula de Cauchy para un conjunto convexto. Ejemplos. Ver página 81 del William Derrick para los ejemplos.
Clase del 24 de noviembre de 2006:
Se recuerda la fórmula de Cauchy para un conjunto convexto. Se demuestra el teorema que dice que toda funcián holomorfa es analítica, encontrando el desarrollo de potencias. Como consecuencia, se deduce la fórmula de Cauchy para las derivadas. Ejemplos. Se hace el problema 10 de la Hoja de problemas nº 3.
Clase del 28 de noviembre de 2006:
Se demuestra la desigualdad de Cauchy para las derivadas. Como consecuencia, se demuestra el teorema de Liouville: toda función entera y acotada es constante. Ejemplos. Se demuestra el teorema del módulo máximo, y se enuncia el teorema del mínimo máximo. Este se puede encontrar también en Ver enlace. Concepto de singularidad aislada de una función holomorfa. Ejemplos.
Clase del 30 de noviembre de 2006:
Singularidad evitable. Acotación de la función en el entorno de una singularidad evitable. Teorema de clasificación de singularidades aisladas. Singularidad evitable, polo de orden m y singularidad esencial. Caractererización mediante el límite de la función, mediante su desarrollo de Laurent en el punto. Ejemplos. Teorema de Picard sobre singularidades esenciales.
Clase del 1 de diciembre de 2006:
Concepto de residuo de una función en una Singularidad. Fórmula para el cálculo del residuo en un polo de orden m. Ejemplos. Método para calcular el residuo hallando el coeficiente c_n, con n = -1, usando el desarrollo de Taylor de funciones conocidas. Ejemplos. Idea geométrica de un polo: ejemplos gráficos. Ver la presentacion en el enlace .
Clase del 5 de diciembre de 2006:
Concepto de serie de Laurent y deducción de la región de convergencia. Ejemplos. Cálculo de la serie de Laurent que converge a una función dada en una cierta corona circular. Ejemplos. Uso del desarrollo de Taylor de funciones conocidas para encontrar ciertos desarrollos de Laurent. Ejemplos.
Clase del 7 de diciembre de 2006:
Teorema de Cauchy global. Ejemplos. Teorema de Laurent, y demostración. Ver un esquema en el enlace . Teorema binomial y su uso para hallar desarrollos de Laurent. Ejemplos. Un ejemplo de integración compleja para demostrar una identidad combinatoria.
Clase del 12 de diciembre de 2006:
Teorema de los residuos. Ejemplos. Polo en el punto del infinito. Teorema de interior y del exterior. Ejemplos. Aplciación de la teoria de variable compleja para el cálculo de una serie real.
Clase del 14 de diciembre de 2006:
Aplciación de la teoria de variable compleja para el cálculo de intergrales definidas reales. Integrales tipo 1: Integración de una función racionales en senos y cosenos en un (sub)-intervalo de [0,2pi]. Ejemplos. Lema 1 de Jordan. Integrales tipo 2: Integral de una función racional sin polos en el eje real y cumpliendo la hipótesis del lema 1 de Jordan. Ejemplos.
Clase del 15 de diciembre de 2006:
Se ven los lemas 2, 3 y 4 de Jordan. Integrales tipo 3: Integración de una función racional por un seno o un coseno. Primero se escribe la función como parte imaginaria o real de la función racional por una exponencial.
Integrales tipo 4: Integración de una función racional, con un factor (en el numerador o denominado de exponente no entero).
Clase del 19 de diciembre de 2006:
Se demuestra el lema 3 de Jordan. Ejemplos de integrales tipo 4.
Integrales tipo 5: Integración de una función racional multiplicada un un logaritmo neperiano. Se hace mediante integración compleja de la misma función racional por el neperiano al cuadrado. Ejemplos.
Clase del 9 de enero de 2007:
Transformada de Fourier de funciones (señales) continuas. Ejemplos. Demostración de algunas propiedades. Transformada seno y coseno de Fourier de una función real. Identidad de Fourier. Ver enlace ). Ver también el tema 4 del "Señales y sistemas", concretamente secciones 4.3, 4.4 y 4.6.
Clase del 11 de enero de 2007:
Transformada de Fourier de funciones (señales) continuas. Convolución. Definición y propiedades. Teorema de convolución en el tiempo. Demostración. Teorema de convolución en la frecuencia. Demostración mediante la propiedad de dualidad y el t. de convolución en el tiempo. Teorema de Parseval y espectro de energía. Demostración. Funciones de correlación. Teorema de Wiener-Kintchine. Demostración. Se resuelven los problemas 10 y 11 de la hoja de problemas: Ver última página del enlace ).
Clase del 12 de enero de 2007:
Introducción de Transformada de Fourier de funciones continuas generalizadas. Ejemplo: transformada de la delta. Definición de transformada de Laplace y de la transformada de Laplace unilateral. Ejemplos y algunas propiedades.
Ver un resumen en el enlace. Ver también los problemas 1, 2 y 3 de la Hoja de problemas nº 4
Clase del 16 de enero de 2007:
Transformada de Laplace. Demostración de algunas propiedades propiedades, como Diferenciación en el tiempo, Diferenciación en el dominio s, Integración en le dominio del tiempo.
Ver problemas 4, 5 y 8 de la Hoja de problemas nº 4
Clase del 18 de enero de 2007:
Teoremas del valor inicial y del valor final de la transformada de Laplace (enunciados).
Empezamos con la transformada z de señales discretas en el tiempo. Definición y región de convergencia. Ejemplos: entre ellos, se resuelven varios apartados del problema 11 y el problema 12 de la Hoja de problemas nº 4. Cálculo de la transformada inversa.
Propiedades: linealidad, desplazamiento en el tiempo.
Clase del 23 de enero de 2007:
Tranformada z de la convolución. Aplicación al cálculo de la convolución. Expresión de la transformada inversa en forma de integral de contorno. Transformada inversa: definición, linealidad y propiedad de desplazamiento en el tiempo. Aplicación a la resolución de problemas de valor inicial para ecuaciones en diferencias y sistemas de ecuaciones en diferencias. Ejemplos. Se comentan los problemas de la transformada z de la Hoja de problemas nº 4.
Clase del 25 de enero de 2007:
Se resuelven problemas de la asignatura.
