Clase de 24 de septiembre de 2008:
Presentación de la Asignatura y del Proyecto Docente: Ver enlace. Números Reales -- Introducción: los números naturales. El principio de inducción. Ejemplos. Ver enlace.
Clase de 26 de septiembre de 2008:
Test inicial. Se resuelve un problema sobre el principio de inducción de los propuestos ayer. Principio de induccción fuerte. Ejemplos.
Clase de 29 de septiembre de 2008:
El conjunto de los números enteros. Propiedades. El conjunto de los números racionales. Propiedades. Representación gráfica. La recta racional. Los Números reales. Propiedades. Propiedad de densidad de los números racionales y propiedad arquimediana. Intervalos de la recta real. Ver enlace . Se comenta la hoja de problemas números 1, disponible en EL ENLACE. Hacer los problemas desde el n. 1 al 6, y el n. 12. Se proponen otros problemas relativos a números irracionales, desigualdades, etc.
Clase de 1 de octubre de 2008:
Los Números reales como límites de números racionales. Progresiones geométricas. Suma de los n primeros términos de una P.G., y de la suma de una P.G. con razón en valor absoluto menor que 1. Ejemplos y problemas propuestos. Se demuestra que un número irracional elevado a un número irracional puede ser racional. Introducción a los números complejos. Definición, suma y producto. Propiedades. Ejemplos. Cociente de dos números complejos.
Clase de 3 de octubre de 2008:
Se resuelven en clase algunos problemas propuestos anteriormente (sobre números de Fibonacci e inecuaciones). Se recogen problemas. Se pueden hacer los problemas 1 y 2 de la hoja de problemas n. 2, disponible en EL ENLACE.
Problemas de números reales y operaciones elementales se encuentran en la hoja de problemas n. 0.
Clase de 6 de octubre de 2008:
Se comentan y resuelven algunos de los problemas propuestos anteriormente y entregados el viernes pasado. Se hacen los problemas 3 y 11 de la hoja de problemas n. 1, disponible en EL ENLACE.
Forma binómica y cartesiana de un número complejo. Representación gráfica. Módulo y argumento de un número complejo. Ejemplos.
Clase de 8 de octubre de 2008:
Forma polar o modulo-argumental de un número complejo. Fómula de Euler. Forma exponencial y forma trigonométrica de un número complejo. Mutiplicación, cociente y potencia de un número complejo en forma polar. Expresión de las n raices n-ésimas de un número complejo. Ejemplos. Se pueden resolver los problemas propuestos 3 y 4 (apartados a,b,c y d) de la hoja de problemas n. 2, disponible en EL ENLACE.
Clase de 10 de octubre de 2008:
Se hacen en clase las preguntas que podrás encontrar en EL ENLACE .
Puedes consultar las notas en
(ver EL ENLACE) .
Se resuelven los problemas 1 y 2 de la hoja de problemas n. 2, disponible en EL ENLACE. Se demuestra la fórmula de la raíz n-ésima de un número complejo. Intrepretación geométrica. Se pueden hacer los problemas 7, 12, 14, 17 y 18, de la hoja de problemas n. 2 (EL ENLACE) .
Problema propuesto: (el mapa del tesoro)
(ver EL ENLACE) .
Clase de 13 de octubre de 2008:
Se comentan los resultados de las preguntas de clase del pasado viernes (10). Importancia de calcular bien el argumento de un número complejo. Se repasan las propiedades de los logaritmos (reales).
Se puede ver en el (ENLACE) lo correspondientes a los logaritmos.
Vemos cómo se calcula la potencia de base el número e y exponente complejo, y la fórmula del logaritmo neperiano (complejo) de un número. Se hacen los problemas 9(a,b,c,d) de la hoja de problemas n. 2 (ENLACE) . Se ve cómo calcular la potencia de base y exponente complejo. Se resuelve el problema 9(e) de la hoja de problemas n. 2. Se pueden resolver los problemas 9(f) y 10 (a,b,c) de la hoja de problemas n. 2.
Clase de 15 de octubre de 2008
Se demuestra la fómula del logaritmo neperiano de un número e complejo. Expresión exponencial del seno y coseno. Resolución de ecuaciones trigonmétricas en el camplo complejo. Se resuelven varios problemas de la hoja de problemas n. 2.
Más problemas de números complejos hay en EL ENLACE .
Además, un breve resumen de las operaciones básicas con números complejos está en EL ENLACE .
Clase de 17 de octubre de 2008
Se hacen los problemas 12, 15 y 17 de la Hoja de Problemas n. 2. Se definen las funciones hiperbólicas: seno y coseno hiperbólico y se explica cómo hacer el problema 22 de la hoja 2.
Clase de 20 de octubre de 2008
Se representan las funciones hiperbólicas y se deducen algunas de sus propiedades (fórmula fundamental, relación con las funciones trigonométricas, seno y coseno hiperbólico de 2x). Se repasan las gráficas de algunas funciones elementales.
Empezamos el tema de sucesiones y límites de suceciones. Concepto de sucesión y límite de una sucesión. Clasificación: convergentes, divergentes y oscilantes. Ejemplos.
Propiedades elementales de los límites, y álgebra del infinito. Indeterminaciones. Ejemplos.
Enunciado del Criterio de Stolz. Ejemplo.
Un resumen de lo visto hoy sobre sucesiones lo puedes encontrar en EL FICHERO .
Clase de 22 de octubre de 2008
Se resuelve los problemas 8 y 20 de números complejos. Se explica la Fórmula de Moivre, como resultado de la potencia de un número complejo en forma polar.
Recordamos el criterio de Stolz y lo aplicamos a resolver algunos problemas. Se deducen, del criterio de Stolz, los criterios de la media aritmética (CMA), de la media geométrica (CMG) y el criterio del cociente raíz (CCR).
Se pueden resolver los problemas 4(a,d,f,i,j,k,m,s,z) de la Hoja de Problemas n. 4.
También se recomienda mirar las preguntas sobre cálculo de límites que han aparecido en los últimos exámenes.
Clase de 24 de octubre de 2008
Se hacen en clase las preguntas que podrás encontrar resueltas en EL ENLACE .
Se comentan varios límites del problema n. 4 (del apartado a al n) de la Hoja de Problemas n. 4.
Clase de 27 de octubre de 2008
Infinitésimos e infinitos. Ejemplos. Fórmula de Stirling.
Una tabla útil de infinitos e infinitésimos equivalentes está en EL FICHERO . Aplicación de los infinitos e infinitésimos equivalentes en la resolución de límites. Ejemplos.
Se hacen el clase los problemas 4(c) y 4(f) de la Hoja de Problemas n. 4.
Se recomienda también mirar la soución de las preguntas de límites en los últimos exámenes de convocatoria en EL ENLACE.
Clase de 29 de octubre de 2008
Se explica la fórmula de desarrollo del binomio de exponente natural, donde resulta un polinomio, y de exponente no natural, en la que resulta una suma infinita (serie) y se aplica para resolver el problema 4(b) de la hoja de problemas 4. La hoja la puedes encontrar en EL FICHERO . El problema 4(b) se resuelve de otras dos formas: mediante infinitésimos equivalentes y mendiante el binomio de Newton con exponente no entero.
Clase de 31 de octubre de 2008
Vemos el límite que puedes encontrar en EL FICHERO .
Vemos algunos ejercicios elementales (ejemplos de repaso de Bachillerato), sobre límites de funciones:
Problemas de repaso de límites y continuidad de funciones:
PRESENTACION. El documento en pdf .
Clase del 3 de noviembre de 2008
Definición de sucesión de Cauchy. Significado geométrico. Ejemplos.Toda sucesión de Cauchy es convergente, pero no toda sucesión convergente es de Cauchy.
Ejemplos. Resolvemos los problemas 1 y 2 de la hoja de problemas n. 4. Se resuelve tambi´n el ejercicio 4(x) de la misma hoja de problemas, y se comentan algunos errores en ese problema entre los que lo entregaron el viernes pasado.
Criterio de Sandwich. Ejemplo.
Series numéricas.
Serie geométrica. Carácter de una serie. Linealidad de las series convergentes. Criterio necesario de convergencia. Ejemplos. Vemos que la serie armónica es divergente. Series de téminos positivos. Criterio de comparación. Ejemplos.
Clase del 5 de noviembre de 2008
Criterio de Cauchy (o de la raíz). Criterio del cociente o de D'Alambert. Ejemplos. Criterio de Raabe. Criterio de comparación asintótica (o del límite). Ejemplos.
Un buen compendio de lo que estamos viendo lo puedes encontrar EL ENLACE . Algunos ejemplos resueltos adicionales están en EL ENLACE . Un resumen con algunos criterios que hay que saber aplicar está en EL ENLACE .
Más problemas de series hay en la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) .
Clase del 7 de noviembre de 2008
Se hacen en clase las preguntas que podrás encontrar resueltas en EL ENLACE .
Criterio de Logarítmico. Ejemplos. Criterio integral Cauchy . Ejemplos.
Estos criterios los puedes encontrar EL ENLACE .
Clase del 10 de noviembre de 2008
Se resuelven algunos problemas de series dependientes de un parámetro.
Series alternadas. Definición. Teorema de Leibnitz. Ejemplos.
Convergencia absoluta. Aplicación a las series alternadas. Ejemplos. Se resuelven varios problemas de series de la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) . Se propone de esa hoja hallar la suma de los problemas 1(t) y 1(u).
Clase del 12 de noviembre de 2008
Se resuelven los problemas 1(t) y 1(u) de la hoja de problemas n. 5.
Series incondicionalente convergentes. Convergencia absoluta equivale a convergencia incondicional.
Series de potencias. Radio de convergencia y conjunto de convergencia. Se resuelve el problema 8 de la la hoja de problemas n. 5 (ver hoja de problemas) . De esa misma hoja se pueden hacer (y entregar) los problemas del 7 al 14.
Clase del 14 de noviembre de 2008
Se resuelve el problema 2 de la hoja de problemas n. 5, y se propone la demostración del caso para una serie convergente. Se resuelven también los problemas 7, 10 y 11.
Clase del 17 de noviembre de 2008
Punto interior y conjunto interior, punto exterior y conjunto exterior, punto frontera y conjunto frontera. Propiedades y ejemplos.
Problemas de este tema se encuentran en la hoja de problemas n. 3 (ver hoja de problemas). Se pueden hacer los problemas 4, 5, 6, 8 y 10. Má problemas hay en la hoja de problemas que puedes encontrar en el enlace .
Clase del 19 de noviembre de 2008
Se devuelven los problemas entregados el pasado viernes y se comentan algunos errores.
Punto adherente y conjunto adherente. Punto de acumulación y conjunto derivado. Punto asilado y conjunto de los puntos aislados. Propiedades y ejemplos. Problemas de este tema se encuentran en la hoja de problemas n. 3 (ver hoja de problemas) y también en la hoja de problemas de topología que se ha repartido hoy en clase y puedes encontrar en (ver problemas de topología) .
Clase del 21 de noviembre de 2008
Se hacen y se resuleven en clase las preguntas que podrás encontrar en EL ENLACE .
Se hacen varios problemas de topología. Definición de conjunto abierto y de conjunto cerrado.
Clase del 24 de noviembre de 2008
Definición formal de topología y métrica definida sobre el conjunto de los números reales.
Repaso del concepto de derivada: significado geométrico (pendiente de la recta tangente). Para algunas animaciones sobre el concepto de derivada: Ver animaciones 5 y 6 de la página de Douglas N. Arnold VER animaciones . Propiedades de las derivadas. VER Tabla de derivadas (e integrales). Un montón de ejercicios (son solución) de derivadas los puedes encontrar en EL ENLACE. Se aconseja que pruebes a ver si sabes resolver todos esos problemas.
Teoremas fundamentales de funciones derivables de una variable. VER Enlace.
Clase del 26 de noviembre de 2008
Propiedades básicas de la derivada: derivabilidad implica continuidad, pero la implicación opuesta es falsa. Derivación implícita y derivación logarítmica. Ejemplos.
Todo polinomio se puede escribir de form única con potencias crecientes de (x-a). Polinomio de Taylor de grado n de una función f en x=a. Ejemplo.
Un applet Java sobre aproximaciones de Taylor de algunas funciones se puede encontrar EN EL ENLACE.
La biografía de Brook Taylor la puedes leer en EN EL ENLACE. Información sobre la serie de Taylor esta en EN EL ENLACE.
Clase del 28 de noviembre de 2008
Polinomio de Taylor. Serie de Taylor
Una página de problemas del teorema de Taylor la encuentras en EL ENLACE.
Clase del 1 de diciembre de 2008
Teorema de Taylor. Expresión del Resto de Lagrange. Ejercicios de aplicación: acotación del error, encontrar el grado del polinomio de Taylor para que el error cometido al sustituir la función por el polinomio de Taylor sea menor que una cantidad dada. Se hacen los problemas 7, 12, y 14 y se proponen los problemas 8, 9 10, 15 y se comentan los otros de la página de problemas de Taylor .
Clase del 3 de diciembre de 2008
Serie de Taylor. Ejemplos. Concepto de función analítica o desarrollable en serie de potencias. Ejemplos.
Comenzamos con funciones de varias variables. Gráfica de una función de dos variables. Ejemplo. Dominio de definición. Límites reiterados y direccionales de una función de dos variables. Ejemplos.
Clase del 5 de diciembre de 2008
Se hacen las preguntas en clase n. 5, sobre el teorema de Taylor. Las puedes encontrar en EL ENLACE .
Puedes consultar las notas en
(ver EL ENLACE) .
Se llama la atención sobre errores en el cálculo de las derivadas, y se recomienda hacer ejercicios de la hoja de ejercicios (con solución) qie puedes encontrar en EL ENLACE.
Hacemos algún ejemplo más de límite direccional de una función de dos variables. Introducimos el cambio de variables a coordenadas polares.
Clase del 10 de diciembre de 2008
Se resuelven lo problemas 18, 19 y 20 de la Hoja de Problemas n. 4. También se resuelven los problemas 1 y 2 de la Hoja de Problemas n. 6.
Concepto de derivada parcial de una función de dos variables. Interpretación geométrica. Fórmula de cálculo. Se resuelven los problemas 7(a) y 7(c) de la Hoja de Problemas n. 6.
Concepto de derivada direccional según la dirección de un vector de una función de dos variables. Se resuelve el problema 4 de la Hoja de Problemas n. 6.
Clase del 12 de diciembre de 2008
Se recuerda la definición de derivada parcial de una función de dos variables en un punto. Deducción de la ecuación del plano tangente a una superficie en un punto. Ejemplo.
Concepto de diferencial de una función de una variable, diferencial de una función de dos variables. Condición de diferenciabilidad.
Clase del 15 de diciembre de 2008
Diferencial de una función de dos variables. Relación entre diferenciabilidad, continuidad y existencia de derivadas parciales. Ver, por ejemplo, los siguientes problemas de las últimas convocatorias: problema 4 del examen de Junio de 2008; problema 4 del examen de Febrero de 2008; problema 5 del examen de Febrero de 2007.
Derivadas parciales sucesivas. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas: teorema de Schwartz.
Clase del 17 de diciembre de 2008
Diferenciales sucesivas de funciones de una variable y de funciones de dos variables suponiendo la igualdad de las derivadas parciales cruzadas. Ejemplos.
Expresión de la fórmula de Taylor con diferenciales para funciones de una variable. Teorema de Taylor para funciones de dos variables. Ejemplos.
Clase del 19 de diciembre de 2008
Recordamos la fórmula de Taylor con diferenciales para funciones de dos variables. Ejemplo.
Extremos relativos de una función de dos variables. Condición necesaria (primeras derivadas parciales igual a cero). Condición suficiente: sobre el determinante hessiano. Ejemplos.
Se pueden hacer los problemas 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 y 10 de la Hoja de Problemas n. 7.
Hasta el año que viene y ¡Feliz Navidad!
Clase del 8 de enero de 2009
Recordamos cómo hallar los extremos relativos de una función de dos variables. Explicación basada en el desarrollo de Taylor. Discusión estudiando la diferencial segunda en el punto crítico. Ejemplos.
Clase del 9 de enero de 2009
Puntos de casi-máximo y casi-mínimo. Desarrollo en la diferencial segunda en cuadrados. Ejemplos.
Clase del 12 de enero de 2009:
Máximos y mínimos relativos de funciones de tres variables.
Máximos y mínimos condicionados o ligados. Método de los multiplicadores de Lagrange. Se resuelven los problemas n. 13 y 9 de la hoja de problemas n. 7, disponible en EL ENLACE. También se puede resolver el problema n. 7 del examen de diciembre de 2007 (la solución la puedes encontrar en EL ENLACE).
Clase del 14 de enero de 2009:
Terminamos el problema 9 de la hoja de problemas n. 7. Se hace el problema 14 de la misma hoja, discutiendo los puntos críticos mediante el teorema de Weierstrass. Se hace el problema 18. Se comentan los problemas la hoja de problemas n. 7, disponible en EL ENLACE.
El próximo viernes habrá preguntas de clase de máximos y mínimos.
Clase del 16 de enero de 2009:
Se hace en clase una pregunta sobre máximos y mínimos que puedes encontrar resuelta en EL ENLACE .
Teorema de la funcióon implícita. Caso de una ecuación con dos variables. Interpretación gométrica. Ejemplo. Cálculo de la derivada de la función implícita.
Clase del 19 de enero de 2009:
Teorema de la funcióon implícita. Caso de una ecuación con tres variables, y de un sistema de ecuaciones. Ejemplo.
Ejemplo de cambio de variables en una expresión diferencial.
Clase del 21 de enero de 2009:
Terminamos el problema del cambio de variables planteado el último día. Diversos planteamientos del problema.
Definición de cambio de variables. Ejemplos de cambio de variables.
Repasamos la solución del último examen de Febrero de 2008, que se puede encontrar en EL ENLACE .
