Clase de 25 de septiembre de 2007:
Presentación de la asignatura y del Proyecto Docente: Ver enlace
Presentación Página web de la asignatura.
Test inicial con solución.
Introducción: conjuntos (abierto, cerrado, conexo, convexo).
Clase de 27 de septiembre de 2007:
Introducción: derivadas parciales, y derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwartz. Superficies y normales. Plano tangente y teorema de la función implícita. Curvas y rectas tangentes. Teorema de la función implícita.
Ver páginas 1 - 9 del "Introduction to Partial Differential Equations with Applications", E.C. Zachmanoglou and D.W. Thoe
Clase del 28 de septiembre de 2007:
Problema de valor inicial (PVI) en EDO. Función lipschitziana de dos variable respecto una de ellas, en un rectángulo. Condición suficiente. Ejemplos.
Clase del 2 de octubre de 2007:
Teorema de existencia y unicidad de solución del PVI de EDO de primer orden. Se resuelve los problemas 2, 8 y 9 de la Hoja de problemas nº 1.
Curvas y superficies integrales de campos vectoriales. Primera integral de un campo vectorial. Funciones funcionalmente independientes.
EDP lineales y casi-lineales.
Clase del 4 de octubre de 2007:
Integral general de una EDP de primer orden casi-lineal. Métodos de solución. Ejemplos. Planteamiento del problema de valor inicial para las EDP de primer orden Casi-lineales. Resolucion del problema. Enunciado de los resultados que aseguran solución unica, ninguna solución o infinitas soluciones.
Clase del 5 de octubre de 2007:
Explicación geométrica de los resultados que aseguran solución unica, ninguna solución o infinitas soluciones. Se comentan la primera pregunta de los últimos exámenes de convocatoria, desde Diciembre de 2003. Disponibles en la página web. VER EXAMENES.
Clase del 9 de octubre de 2007:
Juan Lorenzo repasa cómo se resuelven las EDO de segundo orden y coeficientes constantes. En los documentos siguientes tienes un resumen de la resolución de estas ecuaciones: Ecuación homogénea., Ecuación completa., y método de los coeficientes indeterminados.,
Se resuelve el problema 1.c de la hoja de problemas 2. Recordamos la fórmula de Taylor y la serie de Taylor para funciones de una variable. Ejemplos.
Clase del 11 de octubre de 2007:
Se resuelve el problema 2 de la hoja de problemas 2. Se definen las funciones analíticas en un conjunto. Mediante un ejemplo se demustra que estas funciones no coinciden con las infinitamente derivables en el caso real. Ejemplo de solución en serie de potencias de un problema de valor inicial en derivadas parciales.
Clase del 16 de octubre de 2007:
Como ejemplo gráfico, vemos en el applet la solución de algunos problemas de valor inicial en el plano.
Soluciones en series de potencias de PVI. El teorema de Cauchy-Kovalevsky.
En EDO y EDP con valor inicial. Ejemplos de solución. Problemas 4 y 5 de Hoja de problemas nº 2 (Ver páginas 96 - 110 del Zachmanoglou and Thoe). EDP de segundo orden lineales. Ecuación homogénea y Ecuación completa. Orden de una EDP. Propiedad de linealidad y de superposición de las soluciones.
Clase del 18 de octubre de 2007:
Clasificación de las EDP de 2º orden con coeficientes constantes. Ejemplos.
Invarianza del carácter bajo cambios de variables.
Series de Fourier. Ejemplos. Condiciones de Dirichlet. Funciones pares e impares. Series de Fourier. Coeficientes. Ver, por ejemplo enlace y el applet . Series de Fourier de una función de soporte compacto: extensión par e impar.
Clase del 19 de octubre de 2007:
Series de Fourier de una función de soporte compacto: extensión par e impar de una función. Ejemplos.
Diferenciación de una serie de Fourier. Ejemplos.
Integración de una serie de Fourier. Ejemplos.
Clase del 23 de octubre de 2007:
Series de Fourier de funciones definidas en un intervalo de la forma [0,L]. Extensión par y extensión impar de la función. Series de Fourier en cosenos y en senos, respectivamente. Ejemplos.
Solución de en serie de Fourier de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejemplos. Se puede hacer el problema 11 de la hoja de problemas 1.
Clase del 25 de octubre de 2007:
Introudcción a la ecuación del calor. Ver el applet , o también el applet. Diferentes condiciones de contorno e iniciales. Significado físico. Ver páginas de la 11 a la 16 del Stanley Farlow.
Método de Fourier o de sepación de variables. Ecuación del calor con condiciones de contorno tipo Dirichlet nulas. Se discute por qué la constante de separación debe ser negativa.
Clase del 26 de octubre de 2007:
Se deduce la solución estacionaria tomando límite en u(x,t) cuando t tiende a infinito. Se proponen dos problemas con distribución inicial de temperatura conocida. Problemas semejantes hay en las páginas 41 y 42 del libro de Stanley J. Farlow (ver). Ecuación del calor con condiciones de contorno tipo Newmann nulas. Solución estacionaria (tomando límite en u(x,t) cuando t tiende a infinito).
Clase del 30 de octubre de 2007:
Ecuación del calor homogénea con condiciones de contorno No-homogéneas. Cambio de variable que incorpora las condiciones de contorno.
Ecuación del calor no homogénea con condiciones de contorno homogéneas.
Ecuación del calor general. Reducción al caso anterior, mediante un cambio de variables.
Se hace el problema 19 de la Hoja de problemas nº 2. (examen Feb. 07; se puede ver un esquema de la solución en la web ).
Ver las páginas de la 43 a la 48 del libro de Stanley J. Farlow, con ejercicios propuestos.
Clase del 2 de noviembre de 2007:
Se termina el problema 19 de la hoja (ecuación del calor no homogéa) que se empezó el último día.
Se resuelve el problema 9 de la la Hoja de problemas nº 2. Sobre el cambio de variables que incorpora las condiciones de contorno no homogéneas. Más ejemplos. Condiciones de contorno tipo Newmann no homogéneas. También se ve el ejemplo del Farlow (pag. 46).
A partir de ahora se podrán entregar problemas de los que se vayan proponiendo en clase, o sacados de exámenes de otros cursos, los viernes.
Se devolverán corregidos, el lunes siguiente.
Clase del 6 de noviembre de 2007:
Se introduce la ecuación de ondas unidimensional. Resolución por el método de Fourier de la ecuación de ondas, con condiciones tipo Dirichlet nulas en los extremos. Se estudia el caso general, es decir, ecuación no homogénea, con condiciones de contorno homogéneas, pues si las CC no son homgéneas se hace un cambio de variables que incorpora esas condiciones como ya se vió en el caso de la ecuación del calor.
Se comentan los problemas de la Hoja de problemas nº 2.
Clase del 8 de noviembre de 2007:
Unicidad de la solución mediante el funcional de energía (problema 11 de la hoja de problemas 2). Se resuelve el problema 15(a) de la hoja de problemas 2, que corresponde a una ecuación de ondas no homogénea, con CC homogéneas.
Clase del 9 de noviembre de 2007:
Se dan indicaciones de cómo resolver problemas de la ecuación del calor modificada y de la ecuación de ondas con algún término adicional.
Ecuación de Laplace en un rectángulo con condiciones de Dirichlet: reducción del problema a 4 problemas con condiciones de contorno todas nulas, menos una.
Clase del 13 de noviembre de 2007:
Introducción intuitiva de la ecuación de Laplace. Significado geométrico.
Propiedad de la media y funciones armónicas.
Resolución de la Ecuación de Laplace en un rectángulo con condiciones de Dirichlet todas nulas menos una.
Resolución de la Ecuación de Poisson (caso no homogéneo) en un rectángulo con condiciones de Dirichlet todas nulas
Se pone en la página web una hoja de problemas, con EDP's no homogéneas. Ver Hoja de problemas nº 2b.
Clase del 15 de noviembre de 2007:
De Principio de máximo se deduce la unicidad de solución del problema de Dirichlet, y la dependencia continua de los datos del mismo problema.
Empezamos con funciones de variable compleja. Noción de función de variable compleja. Ejemplos.
Límites y continuidad de funciones de variable compleja.
Concepto de derivada de una función de variable compleja. Condiciones de Cauchy-Riemann. Ejemplos.
Clase del 16 de noviembre de 2007:
Series de potencias en variable compleja y radio de convergencia. Ejemplos.
Serie de Taylor de una función. Ejemplos.
Se actualiza la hoja de problemas n. 3 Ver Hoja de problemas nº 3. Se pueden hacer los problemas del 3 al 9.
Clase del 20 de noviembre de 2007:
Sobre visualización de funciones de variable compleja. Ver página web .
Se resuelven varios problemas de la Ver Hoja de problemas nº 3.
Funciones analíticas. Derivación e integración de una serie de potencias. Ejemplos.
Toda función analítica es derivable. Consecuencias: el desarrollo de potencias es único y coincide con el de Taylor. Ejemplos.
Clase del 22 de noviembre de 2007:
Concepto de función entera.
Teoremas de identidad y aplicación a algunos ejemplos. Un esquema de la demostración de los teoremas de identidad se puede ver en el enlace. Ejemplos de aplicación.
Cero de una función holomorfa. Orden del cero. Ejemplos. Propiedad sobre el desarrollo de potencias en un cero de orden m de una función analítica.
Clase del 23 de noviembre de 2007:
Curvas y caminos. Algunos resultados de integración de variable compleja: Teorema de Cauchy, fórmula integral de Cauchy y fórmula de Cauchy para las derivadas. Ejemplos.
Definición de integral de una función de variable compleja sobre un camino. Ejemplos. Teorema fundamental del cálculo. Ejemplo (propuesto).
Clase del 27 de noviembre de 2006:
Propiedades de la integral de varible compleja. Ejemplos.
Definición de índice un punto respecto de una curva. Interpretación geométrica del índice un punto respecto de una curva.
Teorema de Cauchy para un conjunto convexo, y fórmula de Cauchy para un conjunto convexo. Ejemplos. Ver página 81 del William Derrick para los ejemplos.Más problemas de integración de variable compleja los puedes encontrar EL ENLACE.
Clase del 29 de noviembre de 2006:
Teorema del índice un punto respecto de una curva. El índice un punto respecto de una curva cerrada es una función a valores enteros, que es constante en cada componente conexa del complementario de la curva.
Demostración de la fórmula de Cauchy para un conjunto convexo. Ejemplos.
Se demuestra que toda función holomorfa en un abierto, es analítica en él. Como consecuencia se deduce la fórmula de Cauchy para las derivadas. Ejemplos y problemas propuestos.
Clase del 30 de noviembre de 2006:
Se repasa el último problema hecho ayer.
Se demuestra la desigualdad de Cauchy para las derivadas. Como consecuencia, se demuestra el teorema de Liouville: toda función entera y acotada es constante. Ejemplos. Se demuestra el teorema del módulo máximo, y se enuncia el teorema del módulo mínimo. Esto se puede encontrar también en Ver enlace. Concepto de singularidad aislada de una función holomorfa. Ejemplos.
Clase del 4 de diciembre de 2006:
Teorema de clasificación de singularidades aisladas: evitable, polo y singularidad esencial. Ejemplos.
Series de Laurent y singularidades. Ejemplos. Conjunto de convergencia de una series de Laurent.
Clase del 7 de diciembre de 2006:
Desarrollos de Laurent: usando desarrollos de Taylor, mediante la suma de series geom&etricas. Ejemplos.
Clase del 11 de diciembre de 2006:
Desarrollos de Laurent alrededor de una singularidad aislada. Residuo de una función en una singularidad. Cómo se calcula. Ejemplos.
Cadenas y ciclos. Teorema de Cauchy global. Funciones meromorfas. Teorema de los residuos. Ejemplos.
Clase del 13 de diciembre de 2006:
Aplicación del teorema de los residuos. Ejemplos.
Aplicación de la variable compleja al cálculo de integrales reales. Integrales tipo I: función racional de senos y cosenos en el intervalo 0 2*pi. Ejemplos. Y ejercicios propuestos: ver páginas 139-141 del Derrick.
Clase del 14 de diciembre de 2006:
Integrales tipo I: más ejemplos.
Lemas 1 y 2 de Jordan. Idea de la demostración. Integrales tipo II. Ejemplos y ejercicios propuestos.
Clase del 18 de diciembre de 2006:
Hoy no ha habido clase por alerta climatológica.
Clase del 20 de diciembre de 2006:
Ejemplos y ejercicios Integrales tipo II.
Lemas 3 y 4 de Jordan. Integrales tipo III. Ejemplos. propuestos.
Clase del 21 de diciembre de 2006:
Integrales tipo IV: en la función subintegral aparece un exponente no entero de la variable. Recinto de integración. Ejemplos.
A petición de algunos alumnos se recuerda que, después de vacaciones se pueden entregrar problemas de exámenes para que los corrija.
¡FELIZ NAVIDAD! y hasta el año que viene.
Clase del 8 de enero de 2008:
Se repasa el último tipo de integrales (integrales tipo IV) visto antes de vacaciones. En esas integrales, la clave es que en la función subintegral aparece un exponente no entero de la variable. Recinto de integración.
Transformada de Fourier de funciones (señales) continuas. Ejemplos. Demostración de algunas propiedades. Transformada seno y coseno de Fourier de una función real. Identidad de Fourier. Ver un resumen en el enlace. Ver también el tema 4 del "Señales y sistemas", concretamente secciones 4.3, 4.4 y 4.6.
Clase del 10 de enero de 2008:
Terminamos la demostración del teorema de inversión para la transformada coseno de Fourier. El teorema análogo para la transformada seno de Fourier queda propuesto como ejercicio. Relación de estas transformadas con la derivda de funciones.
Convolución de señales contínuas. Definición y propiedades. Teorema de convolución en el tiempo para la transformada de Fourier. Demostración. Teorema de convolución en la frecuencia. Demostración mediante la dualidad y el teorema de convolución en el tiempo. Teorema de Parseval y espectro de energía. Funciones de correlación. Teorema de Wienner-Kintchine.
Clase del 11 de enero de 2008:
Se resuelven los problemas 10 y 11 de la hoja de problemas de transformada de Fourier (última página del enlace.
Empezamos la transformada de Laplace. Transformada de Laplace y transformada de Laplace unilateral. Definición y ejemplos. Función transformada y región de convergencia.
Clase del 15 de enero de 2008:
Transformada de Laplace. Demostración de algunas propiedades propiedades, como Diferenciación en el tiempo, Diferenciación en el dominio s, Integración en le dominio del tiempo.
Ver un resumen en el enlace. Ver también los problemas 1, 2, 3, 4, 5 y 8 de la Hoja de problemas nº 4.
Clase del 17 de enero de 2008:
Transformada de Laplace de derivadas de señales que son cero para t < 0. Aplicación a la resolución de problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejemplos.
Definici´n de transformada z de una señal de tiempo discreto. Ejemplos y región de convergencia.
Clase del 18 de enero de 2008:
Algunos métodos para encontrar la transformada inversa de z: inspección, descomposición en fracciones simples, desarrollo en serie de potencias. Ejemplos.
Propiedades de la transformada z: linealidad, desplazamiento en el tiempo. Ejemplos.
Clase del 22 de enero de 2008:
Propiedades de la transformada z: producto por una sucesión exponencial, diferenciación en el plano z, conjugación de una señal compleja, Inversión en el tiempo, convolución de señales. Teorema de valor inicial. Ejemplos.
Transformada z unilateral. Aplicación a la resolución de problemas de valor inicial en ecuaciones en diferencias. Ejemplo.
Clase del 24 de enero de 2008:
Se resuelven diversos problemas y se comentan los últimos exámenes de la asignatura.
Clase del 25 de enero de 2008:
Se resuelven diversos problemas y se comentan los últimos exámenes de la asignatura. En el examen de febrero habra una pregunta adicional, y una de las preguntas será elegida de entre las propuestas por los alumnos que pueden verse en EL ENLACE.
