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Clase de 23 de septiembre de 2008:
Presentación de la asignatura y del Proyecto Docente:
Ver enlace
Clase de 25 de septiembre de 2008:
Presentación Página web de la asignatura.
Test inicial con solución.
Introducción: conjuntos (abierto, cerrado, conexo, convexo).
Clase de 26 de septiembre de 2008:
Introducción: derivadas parciales, y derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwartz.
Clase de 30 de septiembre de 2008:
Superficies y normales. Plano tangente y teorema de la función implícita. Curvas y rectas tangentes.
Teorema de la función implícita.
Ver páginas 1 - 9 del "Introduction to Partial Differential Equations with Applications", E.C. Zachmanoglou and D.W. Thoe
Clase del 2 de octubre de 2008:
Adrián y Javier Navarro hacen un repaso de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden. Distintos tipos y formas de
resolverlas, con ejemplos y ejercicios propuestos. Esto lo puedes encontrar por ejemplo en las primeras 30 páginas
del enlace. Contiene también ejemplos resueltos.
Clase del 3 de octubre de 2008:
El problema de valor inicial (PVI) en EDO de primer orden. Definición. Rectángulo centrado en un punto. Función
Lipschitziana respecto de la segunda variable. Ejemplos. Condición necesaria. Teorema de existencia y unicidad del PVI en ED0 de primer orden.
Hacer los problemas 2 y 9 de la Hoja de problemas nº 1.
Clase del 7 de octubre de 2008:
Se resuelven los problemas 2 y 9 de la Hoja de problemas nº 1.
Curvas y superficies integrales de campos vectoriales. Definición de curva integral de un c.v. Superficie primera integral de un c.v.
Funciones funcionalmente independientes. EDP de primer orden lineales, casi-lineales y no lineales. Metodos de resolución de sistemas de EDO asociados
a campos vectoriales. Ejemplos.
Clase del 9 de octubre de 2008:
Cristo Antonio Suárez repasa cómo se resuelven las EDO lineales de orden n. Concretamente se ven las
de coeficientes constantes homogéneas y completas.
En los documentos siguientes tienes un resumen de la resolución de estas ecuaciones:
Ecuación homogénea,
Ecuación completa y
Método de los coeficientes indeterminados.
Clase del 10 de octubre de 2008:
Integral general de una EDP de primer orden casi-lineal. Ejemplos.
Planteamiento del problema de valor inicial para las EDP de primer orden Casi-lineales.
Resolucion del problema. Enunciado del resultado que asegura solución única del problema. Ejemplo de resolución.
Se pueden resolver los problemas 1 y 2 (los apartados con solución única) de la
Hoja de problemas nº 2.
Clase del 14 de octubre de 2008:
Problema de valor inicial para las EDP de primer orden Casi-lineales.
Interpretación geométrica del resultado que asegura solución única del problema.
Resultado e interpretación geométrica del resultado que asegura la no existencia de solución, y del que
asegura la existencia de infinitas soluciones. Ejemplos. Se puede resolver el problema 2 de la
Hoja de problemas nº 2. Ver también preguntas de exámenes en las últimas
convocatorias.
Clase del 16 de octubre de 2008:
Serie de Taylor de una función infinitamente derivable. Concepto de función analítica. Ejemplo de que las funciones
analíticas no coinciden con las infinitamente derivables en el caso real.
Soluciones en series de potencias de PVI. El teorema de Cauchy-Kovalevsky.
En EDO y EDP con valor inicial. Ejemplos de solución.
Se pueden hacer los problemas 4 y 5 de Hoja de problemas nº 2 (Ver páginas 96 - 110 del Zachmanoglou and Thoe).
Clase del 17 de octubre de 2008:
Se resuelve el problema 4(d) de la Hoja de problemas nº 2
Clasificación de las EDP. EDP's de 2º orden con coeficientes constantes. Ejemplos.
Ver páginas 3 - 7 del Stanley J. Farlow.
Clase del 21 de octubre de 2008:
Pablo expone la interpretación gráfica de varios problemas de valor inicial de EDP de primer orden casi-lineales.
Clasificación de las EDP de 2º orden con coeficientes constantes. Ejemplos.
Invarianza del carácter bajo cambios de variables.
Introudcción a la ecuación del calor. Ver el
applet ,
o también el applet. Diferentes condiciones
de contorno e iniciales. Significado físico. Ver páginas de la 11 a la 16 del Stanley Farlow.
Método de Fourier o de sepación de variables.
Ecuación del calor con condiciones de contorno tipo Dirichlet nulas.
Clase del 23 de octubre de 2008:
Santiago de Luxan expone la deducción de la ecuación del calor. Puedes descargar
el domumento.
Cristo Isael recuerda cómo se calcula la serie de Fourier de una función periódica. Ejemplos.
Condiciones de Dirichlet. Funciones pares e impares. Expresiones para los coeficientes de una función definida en el
intervalo [0,L].
Ver, por ejemplo
enlace
y el applet . Series de Fourier de una función de soporte compacto: extensión par e impar.
Terminamos la solución del problema homogéneo del calor, con condiciones de contorno homogéneas tipo Dirichlet.
Clase del 24 de octubre de 2008:
Interpretación geométrica de la ecuación del calor. Unicidad de solución del problema homogéneo con
condiciones Dirichlet homogéneas (problem n. 9 de la Hoja de problemas nº 2)
Se demuestra que la solución en forma de serie es convergente (mediante el criterio mayorante de Weierstrass).
Clase del 28 de octubre de 2008:
Se proponen dos problemas con distribución inicial de temperatura conocida.
Problemas semejantes hay en las páginas 41 y 42 del libro de Stanley J. Farlow (ver).
Ecuación del calor con condiciones de contorno tipo Newmann nulas. Solución estacionaria
(tomando límite en u(x,t) cuando t tiende a infinito).
Ecuación del calor homogénea con condiciones de contorno No-homogéneas. Cambio de
variable que incorpora las condiciones de contorno.
Clase del 30 de octubre de 2008:
Principio del máximo y del mínimo para la ecuación del calor.
Principio de dependencia continua de los datos. Se propone varios problemas con la ecuación del
calor: uno con un término adicional (u) en el segundo miembro; y otro con condiciones tipo Dirichlet
no homogéneas, en el que se pregunta la solución estacionaria, y su significado físico.
Caso general: Ecuación del calor no-homogénea con condiciones de contorno No-homogéneas.
Primerose hace un a cambio de variables que incorpora las condiciones de contorno.
Clase del 31 de octubre de 2008:
Se introduce la ecuación de ondas unidimensional.
Resolución por el método de Fourier de la ecuación de ondas,
con condiciones tipo Dirichlet nulas en los extremos.
Se estudia el caso de la ecuación no homogénea, con condiciones de contorno
homogéneas.
Clase del 4 de noviembre de 2008:
Ecuación de ondas no homogénea, con CC no homogéneas.
Ecuación de ondas amortiguada.
Unicidad de la solución mediante el funcional de energía (problema 11 de la Hoja de problemas nº 2).
Clase del 6 de noviembre de 2008:
Se comentan los problemas de la
Hoja de problemas nº 2, y de la Hoja de problemas nº 2b.
Significado geométrico intuitivo del laplaciano igual a cero, mayor que cero o menor que
cero de una función de dos variables. Funciones armónicas y propiedad del valor medio.
Principio del máximo y del mínimo de las funciones armónicas. Uinicidad de solución del
problema de Dirichlet.
EDP de tipo elíptico: La ecuación de Laplace en un
rectángulo. Solución por el método de sepración de variables.
Clase del 7 de noviembre de 2008:
Se resuelve un problema de la la ecuación de Poisson en un rectángulo. Se utiliza la
fórmula de Moivre para simplifica las cuentas. Otros problemas de tipo elítico se pueden encontrar
en el Weinberger, páginas 105 a 107. Algunos de estos, con la solución están en la
Hoja de problemas 2c.
Clase del 11 de noviembre de 2008:
Empezamos con funciones de variable compleja. Noción de función de variable compleja.
Ejemplos.
Límites y continuidad de funciones de variable compleja.
Concepto de derivada de una función de variable compleja. Condiciones de Cauchy-Riemann.
Ejemplos. Se hacen los problemas 1(a,b,c) de la
Hoja de problemas 3. El apartado 1(d) se puede
encontrar resuelto en el W. Derrick. Se propone un problema especial
(ver problema especial) y el problem 2 de la misma hoja.
El proximo viernes se dejará en la página web de la asignatura un examen parcial
virtual. Se puede resolver y entregar el viernes siguiente (28 de noviembre).
Clase del 13 de noviembre de 2008:
Judit Celia Viera Santana expone en clase la deducción de la ecuación de ondas en 1 dimensión. Puede encontrar
el documento en el enlace.
Series de potencias en variable compleja y radio de convergencia. Funciones analíticas. Ejemplos.
Serie de Taylor de una función de variable compleja. Ejemplos.
Se pueden hacer los problemas del 3 al 9 de la hoja de problemas n. 3 Ver Hoja de problemas nº 3.
Clase del 14 de noviembre de 2008:
Se hacen los problemas 5(a,b,d,h), 7, y 8 de la
hoja de problemas n. 3 .
Se proponen los demás apartados del problema 5 y el 10(a). También se propone demostrar
mediante el desarrollo en serie de Taylor y el producto de series de Cauchy, la identidad trigonométrica
"sen 2x = 2 sen x cos x". Este problema lo puedes encontrar resuelto en
el enlace.
Clase del 18 de noviembre de 2008:
Se comenta en clase el problema "sen 2x = 2 sen x cos x".
Se demuestra que toda función desarrollable en serie de potencias (analítica) es
diferenciable, es decir holomorfa. Esto no ocurre en el caso real. En particular se demuestra que el desarrollo de potencias
de una función analítica coincide con su desarrollo de Taylor.
Curvas y caminos en el plano complejo. Ejemplos.
Definición de integral una función holomorfa a lo largo de un camino.
No depende de la parametrización de la curva. Teorema de Cauchy: la integral de una función holomorfa
sobre la curva y en el interior de ella, es cero.
Clase del 20 de noviembre de 2008:
Se comenta la nueva hoja de problemas sobre series de potencias:
Definición de índice un punto respecto de una curva.
Interpretación geométrica del índice un punto respecto de una curva. Ejemplos.
Repasamos de nuevo el Teorema de Cauchy. Enunciados de la fórmula de Cauchy para un conjunto convexo
y de la fórmula de Cauchy para las derivdas. Ejemplos.
Ejemplos.
Ver página 81 del William Derrick para los ejemplos. Problemas elementales de
integración de variable compleja los puedes encontrar EL ENLACE.
Clase del 21 de noviembre de 2008:
Hacemos ejercicios de la integración de variable compleja: Ver el ENLACE.
Se deduce una fórmula integral para los coeficientes de una serie de potencias centrada en z=0.
Queda disponible El parcial virtual..
Clase del 25 de noviembre de 2008:
Se demuestra que la función índice de un punto respecto de una curva cerrada es holomorfa.
Se demuestra que toda función holomorfa es analítica y la fórmula de Cauchy para las derivadas.
Concepto de función entera.
Teoremas de identidad y aplicación a algunos ejemplos.
Un esquema de la demostración de los teoremas de identidad se puede ver
en el enlace. Ejemplos de aplicación.
Cero de una función holomorfa. Orden del cero. Ejemplos.
Propiedad sobre el desarrollo de potencias en un cero de orden m de una función analítica.
Clase del 27 de noviembre de 2008:
Se demuestra la desigualdad de Cauchy para las derivadas.
Como consecuencia, se demuestra el teorema de Liouville: toda función entera y acotada es constante.
Ejemplos. Se demuestra el teorema del módulo máximo, y se enuncia el teorema del
módulo mínimo. Esto se puede encontrar también en
Ver enlace.
Concepto de singularidad aislada de una función holomorfa. Ejemplos.
Teorema de clasificación de singularidades aisladas: evitable, polo y singularidad esencial. Ejemplos.
Problemas sobre singularidades y series de Laurent se encuentran
EN EL ENLACE.
Clase del 28 de noviembre de 2008:
Se resuelven problemas sobre clasificación de singularidades. Orden de un polo: multiplicidad de las
raíces del numerador y denominador. Ejemplos.
Definición de serie de Laurent. Su región de convergencia es una corona circular.
Fórmulas para los radios de esa corona.
Clase del 2 de diciembre de 2008:
Serie de Laurent. Deducción de la región de convergencia. Ejemplos.
Teorema de Laurent. Desarrollo de Laurent de una funció holomorfa en el entorno de
una singularidad, y clasficación de esa singularidad.
(Puedes consultar el enlace, y
además, una biografía de Pierra A. Laurent la puedes leer en
el enlace .
Residuo de una función en una singularidad. Fómulas para calcular el residuo en un polo de orden 1 o de orden m.
Clase del 4 de diciembre de 2008:
Demostración de las fórmulas para el cálculo del residuo en un polo.
Ejemplos. Cadenas y caminos. Propiedades. Teorema de Cauchy global. Consecuencias y ejemplos.
Introducción al teorema de los residuos.
Clase del 5 de diciembre de 2008:
Fórmula integral de Cauchy global. Ejemplos. Teorema de los residuos y aplicaciones.
Clase del 9 de diciembre de 2008:
Aplicaciones de teoría de variable compleja a diversos problemas: demostración de algunas
identidades combinatorias. Ejemplos.
Cálculo de integrales reales mediante integración compleja. Integrales tipo I y tipo II.
Lema 1 de Jordan. Ejemplos.
Clase del 11 de diciembre de 2008:
Vemos los lemas 2, 3 y 4 de Jordan. Se ven las integrales tipos II y III. Ejemplos.
Clase del 12 de diciembre de 2008:
Se demuestra el lema 3 de Jordan. Integrales tipo IV. Ejemplos. Se comentan los problemas de
las últimas convocatorias donde se aplica la variable compleja para hallar
integrales reales: pregunta 3(b) del
examen de febrero 2008;
pregunta 4(b) del
examen de febrero 2007;
pregunta 4(b) del
examen de febrero 2006;
pregunta 4(b) del
examen prefinal de febrero 2006;
pregunta 4(b) del
examen de diciembre 2005.
Clase del 16 de diciembre de 2008:
Integrales tipo V. Ejemplos.
Clase del 18 de diciembre de 2008:
Hacemos problemas de variable compleja: integral tipo V y problemas de los últimos exámenes
de convocatoria. Con esto terminamos la parte de variable compleja.
Mañana no habrá clase.
Hasta el año que viene y ¡Feliz Navidad!
Clase del 8 de enero de 2009:
Transformada de Fourier de funciones (señales) continuas. Ejemplos.
Demostración de algunas propiedades. Transformada seno y coseno de Fourier de una función real.
Identidad de Fourier. Ver un resumen en el enlace.
Ver también el tema 4 del "Señales y sistemas", concretamente secciones 4.3, 4.4 y 4.6.
Clase del 9 de enero de 2009:
Convolución de señales contínuas. Definición y propiedades. Teorema de convolución
en el tiempo para la transformada de Fourier. Demostración.
Teorema de convolución en la frecuencia. Demostración mediante la dualidad y el teorema de convolución
en el tiempo. Teorema de Parseval y espectro de energía. Funciones de correlación. Teorema de Wienner-Kintchine.
Clase del 13 de enero de 2009:
Se resuelven los problemas 10 y 11 de la hoja de problemas de transformada de Fourier (última página del
enlace.
Empezamos la transformada de Laplace. Transformada de Laplace y transformada de Laplace unilateral. Definición y ejemplos.
Función transformada y región de convergencia. Relación con la transformada de Fourier. Propiedades.
Clase del 15 de enero de 2009:
Transformada de Laplace. Demostración de algunas propiedades propiedades, como Diferenciación en el tiempo,
Diferenciación en el dominio s, Integración en le dominio del tiempo.
Ver un resumen en el enlace.
Ver también los problemas 1, 2, 3, 4, 5 y 8 de la
Hoja de problemas nº 4.
Definición de transformada z de una señal de tiempo discreto. Ejemplos y región de convergencia.
Clase del 16 de enero de 2009:
Algunos métodos para encontrar la transformada inversa de z: inspección, descomposición en fracciones
simples, desarrollo en serie de potencias. Ejemplos.
Propiedades de la transformada z: linealidad, desplazamiento en el tiempo. Ejemplos.
Clase del 20 de enero de 2009:
Propiedades de la transformada z: producto por una sucesión exponencial,
diferenciación en el plano z, conjugación de una señal compleja,
Inversión en el tiempo, convolución de señales. Teorema de valor inicial. Ejemplos.
Transformada z unilateral. Aplicación a la resolución de
problemas de valor inicial en ecuaciones en diferencias. Ejemplo.
Clase del 21 de enero de 2009:
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