|
|
Clase de 17 de septiembre de 2009:
Presentación de la asignatura y del Proyecto Docente, que se puede encontrar en
el enlace.
Se hace y resuelve en clase el Test inicial.
Se propone finalmente un problema avanzado.
Clase de 18 de septiembre de 2009:
Introducción: conjuntos (abierto, cerrado, conexo, convexo). Funciones de varias variables. Continuidad,
derivadas parciales, y derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwartz.
Clase de 22 de septiembre de 2009:
Superficies y normales. Plano tangente y teorema de la función implícita. Curvas y rectas tangentes.
Teorema de la función implícita.
Ver páginas 1 - 9 del "Introduction to Partial Differential Equations with Applications", E.C. Zachmanoglou and D.W. Thoe
Entre otros ejercicios se hace el problema 1 de la Hoja de problemas nº 1.
Clase de 24 de septiembre de 2009:
El problema de valor inicial (PVI) en EDO de primer orden. Definición. Rectángulo centrado en un punto. Función
Lipschitziana respecto de la segunda variable. Ejemplos. Condición necesaria.
Teorema de existencia y unicidad del PVI en ED0 de primer orden.
Se hacen los problemas 2, 8 y 9 de la Hoja de problemas nº 1.
Un repaso de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden lo puedes encontrar,
por ejemplo en las primeras 30 páginas del enlace.
Contiene también ejemplos resueltos.
Clase de 25 de septiembre de 2009:
Curvas y superficies integrales de campos vectoriales. Definición de curva integral de un c.v. Superficie primera integral de un c.v.
Funciones funcionalmente independientes. EDP de primer orden lineales, casi-lineales y no lineales.
Clase de 29 de septiembre de 2009:
EDP de primer orden lineales, casi-lineales y no lineales.
Métodos de resolución de sistemas de EDO asociados a campos vectoriales. Ejemplos.
Planteamiento del problema de valor inicial para las EDP de primer orden Casi-lineales.
Resolucion del problema. Se puede resolver el problema 1 de la Hoja de problemas nº 2.
Clase del 1 de octubre de 2009:
Planteamiento del problema de valor inicial para las EDP de primer orden Casi-lineales.
Enunciado del resultado que asegura la no existencia de solución del problema. Interpretación geométrica.
Enunciado del resultado que asegura solución única del problema. Ejemplo de resolución.
Resultado e interpretación geométrica del resultado que asegura la existencia de solución única,
y del que asegura la existencia de infinitas soluciones. Ejemplos.
Se pueden resolver los problemas 1 y 2 (los apartados con solución única) de la
Hoja de problemas nº 2.
Clase del 2 de octubre de 2009:
Ejemplos de problemas de valor inicial para las EDP de primer orden Casi-lineales.
Desarrollos en serie de Taylor elementales, que se deducen de la suma de una serie geométrica.
Clase del 6 de octubre de 2009:
Desarrollo en serie de Taylor. Concepto de funciones analíticas. Ejemplo de una función no analítica.
El teorema de Cauchy-Kovalevsky para problemas de valor inicial en EDO's. Ejemplos.
El teorema de Cauchy-Kovalevsky para problemas de valor inicial en EDP's. Ejemplos. Se hacen algunos apartados del problema
1 de la Hoja de problemas nº 2.
Clase del 8 de octubre de 2009:
Se resuelven dos problemas especiales que se habían propuesto hace algunas semanas. Uno de ellos lo puedes encontrar
resuelto aquí .
Introducción a las EDP de segundo orden lineales. Expresión general. Ecuaciones lineales y no lineales.
Carácter (o tipo) de la ecuación. Clasificación y ejemplos. Las ecuaciones de la física-matemática.
Invarianza del Carácter de una EDP de segundo orden lineal bajo cambio de variables. Puedes mirar la lección 1 del
libro Partial Differential Equation for Scientists and Engineers, de Stanley J. Farlow.
Clase del 9 de octubre de 2009:
La ecuación del calor (caso homogéneo). Significado de cada uno de los términos que aparecen en la ecuación.
Condiciones iniciales y de contorno. Condiciones tipo Dirichlet, Newmann y Robin. Significado físico de cada una de ellas.
Linealidad de la ecuación y de las condiciones.
Principio de superposición.
Lo relativo a la ecuación del calor lo puedes encontrar (ampliado) en el libro de Farlow (pags. 13-26).
Clase del 13 de octubre de 2009:
La ecuación del calor (caso homogéneo). Recordamos las condiciones de contorno de tipo
Dirichlet y de tipo Newmann, y su significado físico.
Método de separación de variables: 1) aplicamos la EDP, 2) las condiciones de contorno y deducimos los
autovalores y las autofunciones, 3) por la condición inicial se ecuentra la solución en forma de serie trigonométrica.
Clase del 15 de octubre de 2009:
Se hace un repaso de las series de Fourier de funciones periódicas, y de las funciones de soporte compacto (extensión para e impar).
Condiciones de Dirichlet. Derivación e integración de una serie de Fourier.
Ver, por ejemplo
enlace
y el applet . Series de Fourier de una función de soporte compacto: extensión par e impar.
Clase del 16 de octubre de 2009:
Se comenta que la solución de la ecuación del calor homogénea que nos da el método de Fourier es convergente
si la función que define la solución inicial cumple las condiciones de Dirichlet. Se demuestra la propiedad de unicidad de
solución de ese problema (ejercicio n. 9 de la Hoja de problemas nº 2.).
Se propone resolver y entregar el próximo martes el problema de la ecuación del calor homogénea con condiciones de
contorno tipo Newmann homogéneas.
Problema de la ecuación del calor homogénea con condiciones de contorno tipo Dirichlet no homogéneas. Cambio de variables.
Clase del 20 de octubre de 2009:
Ecuación del calor no homogénea: caso general. Método de Fourier. Se pueden resolver los ejercicios n. 18 y 19
de la Hoja de problemas nº 2.; y 1, 2, 3, 4, 5, 7 de la
Hoja de problemas nº 2b (Problemas no homogéneos). Algunos de ellos se ecuentran resueltos
en la web, en el examen que se indica.
Puedes repasar cómo se resuelven las EDO lineales de orden n, concretamente las de segundo orden de coeficientes constantes homogéneas y completas.
En los documentos siguientes tienes un resumen de la resolución de estas ecuaciones:
Ecuación homogénea,
Ecuación completa y
Método de los coeficientes indeterminados.
Clase del 22 de octubre de 2009:
Se comentan cómo se resuelven problemas de la ecuación del calor con términos adicionales. Ver Farlow, pags. 58 a 62.
Más problemas resueltos y propuestos con la ecuación del calor hay en el Farlow, pags. 64 a 71.
EDP de tipo hiperbólico: la ecuación de ondas. Significado. Caso homogéneo. Separación de variables.
Clase del 23 de octubre de 2009:
Se explica por qué la constante de separación es negativa en la ecuación de ondas con
condiciones de contorno tipo Dirichlet homogéneas. Se propone el problema de la ecuación de ondas con
condiciones de contorno tipo Newmann homogéneas (se ha de suponer ahora la constante de separación negativa o cero).
Se resuelve un problema no homogéneo con la ecuación de ondas. Se pueden hacer los siguientes problemas:
14, 15 y 20 de la Hoja de problemas nº 2.; y los problemas
6 y 8 de la Hoja de problemas nº 2 b.).
La próxima semana no habrá clase, pues estoy asistiendo a un congreso.
En lo que sigue debajo se deja el problema 11 de la hoja de problemas n. 2 totalmente resuelto (por el martes 27),
Se propone un parcial virtual para el jueves 29, con preguntas que se pueden responder con lo visto en clase hasta el momento.
Clase del 27 de octubre de 2009:
La solución del problema 11 de la hoja de problemas n. 2 la puedes encontrar en
ENLACE_solución_problema_11.
Clase del 29 de octubre de 2009:
Queda disponible El parcial virtual aquí.
La solución se puede entregrar el martes 3 de noviembre.
Clase del 3 de noviembre de 2009:
Ecuación de ondas no homogénea, con CC no homogéneas.
Ecuación de ondas amortiguada.
Se comentan los problemas de la
Hoja de problemas nº 2, y de la Hoja de problemas nº 2b.
Significado geométrico intuitivo del laplaciano igual a cero, mayor que cero o menor que
cero de una función de dos variables. Funciones armónicas y propiedad del valor medio.
Clase del 5 de noviembre de 2009:
Principio del máximo y del mínimo de las funciones armónicas. Unicidad de solución del
problema de Dirichlet, y dependencia continua de los datos.
Se resuelve un problema de la la ecuación de Laplace en un rectángulo.
Otros problemas de tipo elíptico se pueden encontrar en el Weinberger, páginas 105 a 107.
Algunos de estos, con la solución están en la Hoja de problemas 2c
(ya actualizada). Se recomienda resolver los problemas 1(c), 2 y 3 de esa hoja.
Clase del 6 de noviembre de 2009:
Problema de tipo elíptico no homogéneo: ecuación de Poison. Ejemplo.
Se propone como trabajo opcional estudiar el problema de Dirichlet en un círculo, en el exterior
de un círculo y en una corona circular.
Clase del 10 de noviembre de 2009:
Empezamos con funciones de variable compleja. Noción de función de variable compleja.
Ejemplos.
Límites y continuidad de funciones de variable compleja.
Concepto de derivada de una función de variable compleja. Condiciones de Cauchy-Riemann.
Ejemplos. Se hacen los problemas 1(a,b,c) de la
Hoja de problemas 3. El apartado 1(d) se puede
encontrar resuelto en el W. Derrick. Se propone los problemas 2, 3 y 4 de la misma hoja.
Series de potencias en variable compleja y radio de convergencia. Radio de convergencia y conjunto de convergencia de una serie.
Se resuelven los problemas 5(a) y 5(h) y se comentan los otros apartados.
Clase del 12 de noviembre de 2009:
Funciones analíticas. Ejemplos.
Serie de Taylor de una función de variable compleja. Ejemplos. Se demuestra que toda función anlítica,
es holomorfa, y de clase infinito. Ejemplos.
Se hacen los problemas 7, y 8 de la hoja de problemas n. 3 . Se pueden hacer los problemas 6 y 9 de esa hoja.
Se demuesta, mediante el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial y el producto de series de Cauchy, una identidad
combinatoria. De forma parecida se puede demostrar la identidad trigonométrica
"sen 2x = 2 sen x cos x" (problema que lo tienes resuelto en el enlace). La identidad para
funciones hiperbólicas "Sh 2x = 2 Sh x Ch x" se demuestra de la misma forma ( ver el enlace).
Clase del 13 de noviembre de 2009:
Se resuelven varios problemas de la nueva hoja de problemas sobre series de potencias:
Clase del 17 de noviembre de 2009:
Curvas y caminos en el plano complejo. Ejemplos.
Definición de integral una función holomorfa a lo largo de un camino.
No depende de la parametrización de la curva. Teorema de Cauchy: la integral de una función holomorfa
sobre la curva y en el interior de ella, es cero.
Clase del 19 de noviembre de 2009:
Se demuestra que la función índice de un punto respecto de una curva cerrada es holomorfa.
Se demuestra que toda función holomorfa es analítica y la fórmula de Cauchy para las derivadas.
Concepto de función entera.
Teoremas de identidad y aplicación a algunos ejemplos.
Un esquema de la demostración de los teoremas de identidad se puede ver
en el enlace. Ejemplos de aplicación.
Cero de una función holomorfa. Orden del cero. Ejemplos.
Propiedad sobre el desarrollo de potencias en un cero de orden m de una función analítica.
Clase del 20 de noviembre de 2009:
Como consecuencia del teorema de índice, se demuestra que toda función holomorfa es analítica y la fórmula de Cauchy para las derivadas.
Concepto de función entera.
Teoremas de identidad y aplicación a algunos ejemplos.
Un esquema de la demostración de los teoremas de identidad se puede ver
en el enlace. Ejemplos de aplicación.
Clase del 24 de noviembre de 2009:
Se demuestra la desigualdad de Cauchy para las derivadas.
Como consecuencia, se demuestra el teorema de Liouville: toda función entera y acotada es constante.
Ejemplos. Se demuestra el teorema del módulo máximo, y se enuncia el teorema del
módulo mínimo. Esto se puede encontrar también en
EL ENLACE.
Concepto de singularidad aislada de una función holomorfa. Ejemplos.
Teorema de clasificación de singularidades aisladas: evitable, polo y singularidad esencial. Ejemplos.
Problemas sobre singularidades y series de Laurent se encuentran
EN EL ENLACE.
Clase del 26 de noviembre de 2009:
Hacemos algunos problemas sobre singularidades y su clasificación.
Ver hoja EN EL ENLACE.
Concepto de residuo de una función en una singularidad aislada. Deducimos diferentes fórmulas para calcularlo
según sea singularidad evitable, polo simple, polo de multiplicidad m, o singularidad esencial. Ejemplos.
Serires de Laurent. Concepto, y región de convergencia. Fórmulas que me permiten hallar los dos radios de
de la corona circular. Ejemplo.
Clase del 27 de noviembre de 2009:
Series de Laurent. Hacemos los problemas 3 j y 3a de la hoja de problemas sobre singularidades y series de Laurent
VER EL ENLACE.
Importancia de la región de convergencia en estos problemas. Se recomienda hacer el resto de los ejercicios de esa hoja.
Clase del 1 de diciembre de 2009:
Hacemos un problema de encontrar el desarrollo de Laurent de una función racional en una región de convergencia, y el
problema n. 4 de la hoja de problemas sobre singularidades y series de Laurent.
Cadenas y caminos. Propiedades. Teorema de Cauchy global. Consecuencias y ejemplos.
Introducción al teorema de los residuos. Ejemplos: problema 4(b) del examen de febrero de 2009, y
problema 4(a) del examen de febrero de 2008.
Cálculo de integrales reales mediante integración compleja. Integrales tipo I: función racional de senos y cosenos
en el intervalo [0,2π]. Ejemplo de estas integrales son los problemas 20(a,b,c)
de la hoja de problemas n. 3.
El próximo jueves (3) y viernes (4) no habrá clase, pues me encuentro en la Universidad de La Laguna
en unas jornadas de seguimiento de proyectos CICYT.
Clase del 10 de diciembre de 2009:
Cálculo de integrales reales mediante integración compleja. Se recuerdan las Integrales tipo I.
Integrales tipo II y tipo IV. Lemas 1 y 2 de Jordan. Ejemplos.
Clase del 11 de diciembre de 2009:
Se resuelve el problema 4(b) del examen de febrero de 2008 de diversas formas, en distintos recintos de integración.
Ver la solución del examen.
Clase del 15 de diciembre de 2009:
Se ven los lemas 3 y 4 de Jordan. Integrales tipo IV y tipo V. Ejemplos. Se comentan los problemas de
las últimas convocatorias donde se aplica la variable compleja para hallar
integrales reales: pregunta 3(b) del
examen de febrero 2008;
pregunta 4(b) del
examen de febrero 2007;
pregunta 4(b) del
examen de febrero 2006;
pregunta 4(b) del
examen prefinal de febrero 2006;
pregunta 4(b) del
examen de diciembre 2005.
Se comentan los problemas de la hoja de variable compleja (hoja de problemas n. 3 ).
Con esto terminamos la parte de variable compleja.
Clase del 17 de diciembre de 2009:
Transformada de Fourier de funciones (señales) continuas. Ejemplos.
Demostración de algunas propiedades. Transformada seno y coseno de Fourier de una función real.
Identidad de Fourier. Ver un resumen en el enlace.
Ver también el tema 4 del "Señales y sistemas", concretamente secciones 4.3, 4.4 y 4.6.
Clase del 18 de diciembre de 2009:
Transformadas de Fourier de derivadas de funciones: transformada seno, coseno y transformada de Fourier.
Propiedades y ejercicios propuestos.
Convolución de señales contínuas. Definición y propiedades. Teorema de convolución
en el tiempo para la transformada de Fourier. Demostración.
Teorema de convolución en la frecuencia. Demostración mediante la dualidad y el teorema de convolución
en el tiempo. Teorema de Parseval y espectro de energía. Funciones de correlación. Teorema de Wienner-Kintchine.
Un resumen de lo visto se encuentra en el enlace. La última página corresponde
a algunos ejercicios propuestos.
Clase del 12 de enero de 2010:
Transformada de Laplace. Insuficiencia de la transformada de Fourier. Transformada de Laplace y transformada de Laplace unilateral.
Definición y ejemplos. Función transformada y región de convergencia.
Relación con la transformada de Fourier. Propiedades.
Demostración de algunas propiedades propiedades, como por ejemplo Diferenciación en el tiempo,
Diferenciación en el dominio s, Integración en le dominio del tiempo.
Ver un resumen en el enlace. Ver también los problemas 1, 2, 3, 4, 5 y 8 de la
Hoja de problemas nº 4.
|
|
